本文记录笔者在学积分表时的一些观察，希望能通过对结构的解析而非形式背诵来记忆与理解积分表。因个人能力有限，可能解法不优。如有可改进之处，还请不吝赐教。 --- ## 含有 $a+bx(b \neq 0)$ 的不定积分 这一类积分普遍的处理方式是将分式拆解为 $\frac{1}{(a+bx)^n}$ 型。 --- ###…

### 组合意义 首先，顶层必须扔 $c$ 只飞机。 对于下面的每一层，需要决定它们看到的前 $c$ 只飞机分别是自己丢出去的还是楼上丢下来的。 而楼下总共丢出 $m-c$ 只飞机。 故答案为 $\large \binom{(n-1) c}{m-c}$。 --- ### dp 记 $dp_{i,j}$ 为 $n=i,m…

先讲一下题意，赛时一直在写假题。 给你 $n$ 行 $m$ 列矩阵 $a_{i,j}$ 与 $b_{i,j}$，$b$ 内元素互异。你可以对 $a$ 进行下面的操作： - 选择某一行，在它的头部插入任意一个数，其它数后推一格，并删去最后一行最后一个数。 下面是一个例子（选择第 $1$ 行，插入 $10$）： $$ \b…

若对任意 $w_v>w_u$，总有 $v \in \text{subtree}_u$，选 $u$ 者必败，我们称 $u$ 为**坏点**。 对于 E1，选 $w$ 最大的不坏点即可，此时对手只能选坏点。 E1 策略告诉我们，只要对方可以选不坏点，我们必败。 所以 E2 策略是：选择迫使对手只能选坏点的点。 假设这样的点…

## 向量代数 ### 线性运算 即数乘与向量加减，如 $\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$。 可用于判别退化情况，如： $$ \begin{aligned} \vec{a} \parallel \vec{b} &\Leftrightarrow \exist \lambda^2+\mu^2 \ne…

## 实数与数列极限 ### 关于命题 $\exist x ...$ 前面的语句对 $x$ 起到约束作用，对一个命题调换语序时跨越存在性语句可能改变正确性。 一个经典的例子是将 Cauchy 收敛准则的 $\forall p$ 提到 $\exist N$ 之前。 连续与一致连续定义的差异也体现于此。 --- ### A…

求长度为 $n$ 的全排列中，能划分成 $m$ 个单调递增区间的个数。答案对 $10^9+7$ 取模。 数据范围：$m \leq n \leq 5000$。

在讨论《CF评测机爆了么》回复：

@[are_you_sure](/user/1367333) 大概不是这个问题，发帖时CF全站评测界面前 5 面全是 `In queue`，当时应该是卡了。

rt

在讨论《洛谷 Dataset 代码征集公告》回复：

支持

``` 10 4 2 2 2 5 9 5 9 2 1 6 1 2 4 7 1 7 10 3 7 10 7 4 7 10 8 1 ``` 对于这组数据，[1](https://www.luogu.com.cn/blog/gsh/solution-p4852) [2](https://www.luogu.com.cn/bl…

请使用较快的读写方式，我被这玩意折磨了半天。

在讨论《关于GDKOI》回复：

T1 题解的做法是随机一行去做单行矩乘，做一次错误率是 $\frac{1}{mod-1}$ 的。 不过行列 Hash 的错误率也可以接受吧。 随机撒点错误率 $\frac{1}{n}$，显然易卡。 ~~不过我看成 $\sum nm \leq 3000$ 写了暴力矩乘跑路。~~ T2 就更广义一点的错排，考虑两种情况推出…

在讨论《关于网络流的建图》回复：

@[fzj2007](/user/172370) 合理，忘了必须满足下界了，我紫菜。

在讨论《关于网络流的建图》回复：

`y,z` 再各引一条 $\text{inf}$ 的边到 $T$ 把增流流走就好。

在讨论《关于网络流的建图》回复：

可以在 `x` 补一个很大的流（大于原图最大流），即 $S \to x = \text{inf}$，然后分叉那两条边都设上下界 $[\text{inf},2 \cdot \text{inf}]$。

已完赛，求私 T2,T3 的正解。 

在讨论《关于卡 ABC E 的假做法》回复：

@[forgotmyhandle](/user/573377) `check` 指判断最长路是否为 $n-1$，没有二分答案的意思。 判重指随机几个排列，按排列的顺序跑拓扑验证的，但是理论上可卡。 贴个丑陋的赛时码： ```cpp iota(tmp.begin(),tmp.end(),1); mt19937 rng(t…

赛时蠢了，没想到可以直接 check 直径长度，随了几次拓扑判重过的。 这种做法应该怎么构造数据卡？

在讨论《昨天的 CF 也太逆天了》回复：

不是很理解为什么要保持 rated 这场比赛，是因为它 based on Moscaw Olympiad for Young Students 么？

在讨论《关于多项式模意义下求根（即loj 178）》回复：

应该是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的。

在讨论《关于多项式模意义下求根（即loj 178）》回复：

貌似就是利用 loj178 讨论里那个引理做 Cantor-Zassenhaus（

在讨论《关于多项式模意义下求根（即loj 178）》回复：

总之也是基于有限域因子分解的，但是我不会。

在讨论《关于多项式模意义下求根（即loj 178）》回复：

Henri Cohen 的 [A Course in Computational Algebraic Number Theory](https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-02945-9) 里给出的算法或许更优。 但是穷人家读不起书，我也不会证它的期望复杂度，呜…

在讨论《用Dev-C++写的代码是C++几》回复：

可以用编译命令改语言版本，Dev 自带的编译器貌似最高支持 `-std=c++14`。 需要更高版本你可以自己装个 TDM 啥的。

在讨论《算法竞赛的魅力是乱搞还是严密的逻辑推导？》回复：

我认为高正确率的一眼结论不是运气使然，而是选手对题目中的约束，关系，需要运用的基础算法理解足够深入。 就像二分皇帝 Um_nik 一样，他也不会很多很高端的算法，但是他对常见算法的理解是十分透彻的。 所以稳定胜利的选手，赛场上看似乱搞，背后也是有严密的逻辑支撑的。台上一分钟，台下十年功。

在讨论《昨晚CF E》回复：

思路和上面基本一样的，但是为了实现方便，我直接对两个 chess 需要走的路径染对应色，d 级祖先染相反色，然后直接数染色点，乘二减四即可。

在讨论《求助一道自制题的评级》回复：

题面改为： 数据中存在 $5$ 中字符，在满足下方规则的条件下，你可以自下向上每行选择至多两个字符，最初有 $ans=0$。 > 1. 每行选择的字符应当相邻。 > > 2. 选择某个 `*` 的前提是其正下方直到第一个 `%` 的每个字符都被选择，且这个 `*` 与 `%` 之间的每个字符都是在各自行选择的唯一一个字…

在讨论《求助一道自制题的评级》回复：

@[songjiahao_](/user/761125) 这组数据能否通过和 DP 有什么关系么？

在讨论《求助一道自制题的评级》回复：

只有 $m+1$ 种状态，即由按着某列 drag 或没有按着的 drag 转移过来，复杂度为 $\mathcal{O}(nm)$，没问题的话就是橙到黄的简单 DP 了。