数分一

实数与数列极限

关于命题

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Archimedes 性

$\forall x \in \mathbb{R}_+,\forall y \in \mathbb{R},\exist n \in \mathbb{N}_+, \text{s.t. }nx>y.$

$$\begin{aligned} &\forall x \in \mathbb{R},\exist n \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>x.\\ &\forall x \in \mathbb{R}_+,\exist n \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }nx>1.\\ &0 \text{ 是 } \{\frac{1}{n}\} \text{ 的聚点}.\\ &\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0.\\ &\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0. \end{aligned}$$

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Bernoulli 不等式

$$\begin{aligned} 1)\quad&(1+x)^n \geq 1+nx &(x>-1)\\ 2)\quad&(1+x)^n \geq 1+\binom{n}{2}x^2 &(x \geq 0)\\ Ex.\quad&(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k \end{aligned}$$

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数列收敛

$$\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty}a_n=a\\ \Leftrightarrow &(\exist a \in \mathbb{R},)\forall \varepsilon>0,\exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N 时,总有 |a_n-a|<\varepsilon.\\ \Leftrightarrow &(\exist a \in \mathbb{R},)\forall \varepsilon>0,\exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n,m>N 时,总有 |a_n-a_m|<\varepsilon.\\ \Leftrightarrow &(\exist a \in \mathbb{R},)\forall \varepsilon>0,\exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N 时,\forall p \in \mathbb{N}_+,总有 |a_n-a_{n+p}|<\varepsilon.\\ \end{aligned}$$

迫敛性定理：

设 $\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=a$，数列 $\{c_n\}$ 满足：

存在 $N_0>0$，$\text{s.t. }n>N_0$ 时，有 $a_n \leq c_n \leq b_n$，则 $\lim_{n \to \infty} c_n=a$.

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数列收敛性质

• 极限唯一。
• 保不等式性：$n \to \infty$ 时，$a_n,b_n$ 之间的序关系与 $a,b$ 之间的保持一致。
  约定：$\lim_{n \to \infty} a_n=a,\lim_{n \to \infty} b_n=b$.
  ( 1 ) $a>b \Rightarrow \exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N 时,有 a_n>b_n$.
  ( 2 ) $\exist N_0 \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N_0 时,有 a_n \geq b_n\Rightarrow a \textcolor{red}{\geq} b$.
  将 $b_n$ 替换为常数列即可得到保号性。
• 有界。
  此处 $收敛 \Rightarrow 有界$。
  对单调数列有 $收敛 \Leftrightarrow 有界$，即单调有界定理。
• 任意子列均收敛，且极限相等。（常用逆否命题）
  我们称 $\{a_n\}$ 的一个无限子序列 $\{a_{n_k}\}$ 为 $\{a_n\}$ 的一个子列。
  相对的，有界数列存在收敛子列，即致密性定理。
• 可进行有限次四则运算。

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确界原理

$$\alpha=\sup S \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} 1\degree&\forall x \in S,x \leq \alpha. &(\alpha 为 S 的上界)\\ 2\degree&\forall \varepsilon>0,\exist x_0 \in S,\text{s.t. }x_0>\alpha-\varepsilon. &(\alpha “紧邻” S)\\ 2\degree&\exist x_n \in S(n=1,2,\dots),\text{s.t. }\lim_{n \to \infty} x_n=\alpha. &(上一条的等价表述) \end{aligned} \right.$$

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函数与函数极限

映射

1. $y$ 是映射 $f$ 下 $x$ 的像。
2. $x$ 是映射 $f$ 下 $y$ 的原像。

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函数

$$y=f(x),x \in D$$

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函数极限

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函数的连续性

一致连续证明

$f(x) \in C(-\infty,+\infty)$，$\lim_{x \to \infty}f(x)$ 存在，求证：$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。

$$\begin{aligned} 证:&\\ &记 \lim_{x \to \infty} f(x)=A.\\ &对 \forall \varepsilon > 0,\exist X > 0,s.t.|x|>X 时，有 |f(x)-A|<\varepsilon.\\ \Rightarrow &\forall x_1,x_2 \in (-\infty,-X) \cup (X,+\infty),有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\\ \\ &f(x)在[-X-1,X+1]上连续.\\ \Rightarrow &f(x)在[-X-1,X+1]上一致连续.\\ \Rightarrow &对上述 \varepsilon >0,\exist \delta_0>0,\forall x_1,x_2 \in [-X-1,X+1],\\ & 当|x_1-x_2|<\delta 时,有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\\ \\ &对上述 \varepsilon>0,取 \delta=\min(\delta_0,1),对\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R},不妨设 x_1<x_2,\\ &若|x_1-x_2|<\delta,则下列情况至少有一项成立:\\ 1\degree &x_1,x_2 \in (-\infty,-X) \cup (X,+\infty).\\ 2\degree &x_1,x_2 \in [-X-1,X+1].\\ \Rightarrow&此时|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\\ \Rightarrow&f(x)在\mathbb{R}上一致连续. \end{aligned}$$

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微分与导数

一个关于 $n$ 阶导的问题

$f(x)=\frac{x^{n+1}}{3-x}$，求 $f^{(n)}(x)$.

$$令 g(x)=f(3-x)=\frac{(3-x)^{n+1}}{x}=\frac{3^{n+1}}{x}-x^n+P(x)\\ \frac{d^ng}{dx^n}=[(3-x)']^n\frac{d^nf}{dx^n}$$ $$\frac{d^nf}{dx^n}=\left(\frac{dt}{dx}\right)^n\frac{d^nf}{dt^n}$$ $$\begin{aligned} &\text{Faà di Bruno }公式:\\ &若 f,g 均 m 阶可微,则:\\ &\frac{d^mg(f(x))}{dx^m}=\sum\frac{m!}{\prod_{i=1}^m (b_i!)}g^{(\sum_{i=1}^m b_i)}(f(x))\prod_{i=1}^m(\frac{f^{(i)}(x)}{i!})^{b_i}\\ &其中求和对满足 \sum_{i=1}^m i \cdot b_i=m 的 \mathbb{N}_0^m 进行. \end{aligned}$$ $$\frac{d^mg(f(x))}{dx^m}=g^{(m)}(f(x))[f'(x)]^m$$