解析几何

向量代数

线性运算

$$\begin{aligned} \vec{a} \parallel \vec{b} &\Leftrightarrow \exist \lambda^2+\mu^2 \neq 0,\text{s.t. } \lambda \vec{a}+\mu \vec{b}=\vec{0}.\\ \vec{a},\vec{b},\vec{c} \text{ 共面} &\Leftrightarrow \exist \lambda^2+\mu^2+\nu^2 \neq 0,\text{s.t. }\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}+\nu\vec{c}=\vec{0}. \end{aligned}$$

内积

外积

混合积

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平面与直线

平面

• 点位式（参数方程）：
  $$\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=\overrightarrow{OP}\\ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0+\lambda x_a+\mu x_b\\ &y=y_0+\lambda y_a+\mu y_b\\ &z=z_0+\lambda z_a+\mu z_b \end{aligned} \right.$$
  通过一个平面上的点与两个平面上的不共线向量确定平面。
• 一般式：
  $Ax+By+Cz+D=0$
  在标准系中，$\{A,B,C\}$ 为该平面的一个法向量。
• 截距式（不过原点）：
  $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \quad(abc \neq 0)$
  在 $x,y,z$ 轴上截距分别为 $a,b,c$ .
• 点法式（标准系）：
  $\overrightarrow{OP} \cdot \vec{n}=0\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
  $\{A,B,C\}$ 为该平面的一个法向量。
  通过一个平面上的点与平面的一个法向量确定平面。

直线

• 点向式（参数方程）：
  $$\lambda \vec{v}=\overrightarrow{OP}\\ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0+\lambda k\\ &y=y_0+\lambda l\\ &z=z_0+\lambda m \end{aligned} \right.$$
  用直线上一个点和一个直线的方向向量确定直线。
• 标准方程：
  $\frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{l}=\frac{z-z_0}{m}=\lambda$
  感觉跟点向式没什么区别。
• 一般式：
  $$l: \left\{ \begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{aligned} \right.$$
  用两个相交平面确定直线。

直线位置关系的判定

• 观察方向向量，确定是否共线/垂直。
• 两直线上各取点 $P,Q$，记各自方向向量为 $\vec{v_1},\vec{v_2}$。
  计算 $\Delta=(\overrightarrow{PQ},\vec{v_1},\vec{v_2})$ .
  若 $\Delta=0$ 两直线共面，否则两直线异面。

夹角

• 线线角：
  $$\cos \left< l_1,l_2 \right>=\left| \cos\left< \vec{v_1},\vec{v_2} \right> \right|=\frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$$
• 面面角：
  $$\cos \left< \pi_1,\pi_2 \right>=\left| \cos\left< \vec{n_1},\vec{n_2} \right> \right|=\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$$
• 线面角
  $$\sin \left< l,\pi \right>=\left| \cos\left< \vec{v},\vec{n} \right> \right|=\frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} \quad \Delta \neq 0$$

距离

• 点线距
  $$d_{p,l}=\frac{\left|\overrightarrow{PQ} \times \vec{v}\right|}{|\vec{v}|}$$
  其中 $Q$ 为 $l$ 上任意一点，相当于对 $\overrightarrow{PQ},\vec{v}$ 张成的平行四边形算：面积/底=高。
• 点面距
  $$d_{p,\pi}=\frac{\left| Ax_0+By_0+Cz_0+D \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
  假设我们取 $\pi$ 上一点 $M(x_0,y_0,z_0)$，则：
  $$\begin{aligned} d_{p,\pi}&=\frac{\left| \overrightarrow{MP} \cdot \vec{n} \right|}{|\vec{n}|}\\ &=\frac{\left| A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1) \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\ &=\frac{\left| (Ax_0+By_0+Cz_0+D) - (Ax_1+By_1+Cz_1+D) \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\ &=\frac{\left| Ax_0+By_0+Cz_0+D \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{aligned}$$
• 线线距
  $$d_{l_1,l_2}=\frac{|\Delta|}{\left|\vec{v_1}\times\vec{v_2}\right|}$$
  相当于对 $\overrightarrow{PQ},\vec{v_1},\vec{v_2}$ 张成的平行六面体算：体积/底面积=高。

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二次曲面

旋转曲面

$$\left\{ \begin{aligned} &F(x_0,y_0,z_0)=0\\ &G(x_0,y_0,z_0)=0\\ &k(x-x_0)+l(y-y_0)+m(z-z_0)=0\\ &(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2=(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2+(z_0-z_1)^2 \end{aligned} \right.$$

柱面

$$\left\{ \begin{aligned} &F(x_0,y_0,z_0)=0\\ &G(x_0,y_0,z_0)=0\\ &x=x_0+kt\\ &y=y_0+lt\\ &z=z_0+mt \end{aligned} \right.$$

锥面

$$\left\{ \begin{aligned} &F(x_0,y_0,z_0)=0\\ &G(x_0,y_0,z_0)=0\\ &x=x_1+(x_0-x_1)t\\ &y=y_1+(y_0-y_1)t\\ &z=z_1+(z_0-z_1)t \end{aligned} \right.$$

二次曲面

• 椭球面：
  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
• 单叶双曲面：
  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
  具有直纹性。
• 双叶双曲面：
  $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• 椭圆抛物面：
  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$
• 双曲抛物面：
  $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$
  具有直纹性。

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二次曲线的分类

转轴变换

$$\left[ \begin{matrix} x'\\y' \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta &-\sin \theta\\ \sin \theta &\cos \theta \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right]$$

转轴消除交叉项

移轴消除一次项

• 对椭圆型二次曲线，记移轴后曲线为 $a'_{11}x^2+a'_{22}y^2+a'_{33}=0$，简记 $\delta=a'_{11}a'_{33}$，则：
  $\delta<0$ 的曲线为椭圆；$\delta>0$ 的曲线为虚椭圆；$\delta=0$ 的曲线退化为一点。
• 对双曲型二次曲线，记移轴后曲线为 $a'_{11}x^2+a'_{22}y^2+a'_{33}=0$，简记 $\delta=a'_{33}$，则：
  $\delta \neq 0$ 的曲线为双曲线；$\delta=0$ 的曲线退化为一对相交直线。
• 对抛物型二次曲线，记移轴后曲线为 $a'_{11}x^2+2a'_{23}y=0$，简记 $\delta=a'_{23}$，则：
  $\delta \neq 0$ 的曲线为抛物线；$\delta=0$ 的曲线退化。

不变量

$$\begin{aligned} I_1&=a_{11}+a_{22}\\ I_2&= \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12}\\ a_{12} &a_{22} \end{matrix} \right|\\ I_3&= \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{12} &a_{22} &a_{23}\\ a_{13} &a_{23} &a_{33} \end{matrix} \right|\\ \end{aligned}$$

• 对椭圆型二次曲线，简记 $\delta=I_1I_3$，则：
  $\delta<0$ 的曲线为椭圆；$\delta>0$ 的曲线为虚椭圆；$\delta=0$ 的曲线退化为一点。
• 对双曲型二次曲线，简记 $\delta=I_3$，则：
  $\delta \neq 0$ 的曲线为双曲线；$\delta=0$ 的曲线退化为一对相交直线。
• 对抛物型二次曲线，简记 $\delta=I_3$，则：
  $\delta \neq 0$ 的曲线为抛物线；$\delta=0$ 的曲线退化。
  对退化曲线，记 $K_1=\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{13}\\ a_{13} &a_{33} \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} a_{22} &a_{23}\\ a_{23} &a_{33} \end{matrix} \right|$ .
  $K_1<0$ 的曲线为平行直线；$K_1>0$ 的曲线为虚平行直线；$K_1=0$ 的曲线退化为重合直线。

• 对中心曲线，它的简化方程为：

$$\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+\frac{I_3}{I_2}=0$$

• 对无心曲线，它的简化方程为：

$$I_1x^2 \pm 2\sqrt{-\frac{I_3}{I_1}}y=0$$

• 对线心曲线，它的简化方程为：

$$I_1x^2+\frac{K_1}{I_1}=0$$