题解：CF2062E2 The Game (Hard Version)

若对任意 $w_v>w_u$，总有 $v \in \text{subtree}_u$，选 $u$ 者必败，我们称 $u$ 为坏点。

对于 E1，选 $w$ 最大的不坏点即可，此时对手只能选坏点。

E1 策略告诉我们，只要对方可以选不坏点，我们必败。

所以 E2 策略是：选择迫使对手只能选坏点的点。

假设这样的点为点 $u$，则对任意 $w_v>w_u$：

我们可以将第二点重写为：

记 $g=\text{lca}(t)$，便可进一步重写为：

（顺便提一嘴，求 $g$ 就是求树上点集的 $\text{lca}$，直接找点集里 $dfn$ 最小最大的两个点，取 $\text{lca}$ 即可。）

于是一个点满足 E2 策略可以写成下面的形式：

上面的式子可以进行这样的合并：

其中 $\text{deeper}(u.v)$ 代表 $u,v$ 中深度更大的点。

这样所有 $v$ 对 $u$ 产生的约束最后都会合并为 $(a \in \text{subtree}_u \text{ or } b \in \text{subtree}_u)$ 的形状。

实现上，将点按 $w$ 分组，从大到小扫过每个组，考虑当前点是否满足约束以及当前点对后续点带来的约束即可。