求助，关于本题的状态

RT，一般我们设置的状态是$f[i]$表示从$i$到$k$的期望，然后发现复杂度太大，于是这篇题解给了一个解决方案；但是这篇题解没有改变$f$的状态，而最高赞题解认为$f[i]$表示从$i$到$i-1$的期望，如果是这样的话，递推方程还是那个吗？

假设从$i+1$到$i$的各个样本分别是$(x_1,p_1),(x_2,p_2),...$（$x$表示操作次数，$p$表示概率），那么有$f[i+1]=\sum x_ip_i$；同理设$i$到$i-1$的各个样本分别是$(y_1,q_1),(y_2,q_2),...$，那么有$f[i]=\sum y_iq_i$；递推公式则有$f[i]=\frac{i}{n}\times 1+\frac{n-i}{n}\times(\underset{i}{\sum}\underset{j}{\sum}(1+x_i+y_j)p_ip_j)=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(f[i+1]P_i+f[i]P_{i+1}+P_iP_{i+1})$，其中$P_i$表示从$i$到$i-1$的概率

请问一下上述推导有什么问题吗（我概率期望都是自学的qaq可能学假了，请多指教）