有关辗转相除法的一道数学题（补充版））

题目：

定义$C(a,b) (a\geq b)$为使用辗转相除法求解$gcd(a,b)$所需要的次数（从$(a,b)$一直到$(t,0)$的每一次均要计算，例如$C(10,7)=4$）

定义$W(a)=\lfloor lg(a) \rfloor+1$为正整数$a$在十进制下的位数

定义$N(a,b)=\frac{C(a,b)}{W(a)+W(b)}$，求$N(a,b)$的最大值

一些说明或思路：

$1.$对于$1\leq b \leq a\leq 2\times 10^5$，有$N(a,b)$的最大值为$2.50$,其中$(a,b)=(8,5),(89,55),(610,987)$

$2.N(a,b)$有界，证明如下：

$3.$根据参考文献 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-NJSF198203006.htm 有在本题中的$C(a,b)\leq \lfloor\frac{lgb}{lg{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\rfloor+2$，这进一步说明了该函数有界，且更加严格

$4.$可以证明以下引理，对于斐波那契数列(规定$F_0=F_1=1$)的相邻两项$F_i,F_{i+1}$,有：

$N(F_{i+1},F_i)=\frac{C(F_{i+1},F_i)}{W(F_{i+1})+W(F_i)}\geq\frac{C(F_{i+1},F_i+x)}{W(F_{i+1})+W(F_i+x)}=N(F_{i+1},F_i+x)$ $(0\leq x\leq F_{i-1})$

其中$W(F_i)\leq W(F_i+x)$，$C(F_{i+1},F_i) = i+1$，$C(F_{i+1},F_i+x)=C(F_i+x,F_{i-1}-x)+1\leq C(F_{i-1}-x,F_{i-2}+2x)+2\leq ... \leq i <C(F_{i+1},F_i)$

即证