（可能是）一道递推题目

桌上初始局面是两张分别标有 $\underline{1}$，$\underline{2}$的卡片，称一次操作为从桌上已有的卡片中随机选一张记下编号，若是卡片$\underline{1}$，则放回卡片并添加一张新卡片$\underline{k}$，其中$k$是最小的桌上未出现的正整数，若不是卡片$\underline{1}$ ，仅放回。

如果是递推做的，希望给出尽可能简单的封闭形式或复杂度最低的形式，如果是其他方法，也希望分享。

昨天傍晚在灌水区发的，沉了，现在发到学术版求助。