一个数学问题

已知函数 $f(x)$ ，如何求 $f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))$ 趋近于何值或哪个区间（无数个 $f$ ）？

说的可能不太严谨，这样，我用大家都能懂的语言复述一次：

已知函数 $f(x)$ ，对于任意的实数 $a$ ，将 $f(a)$ 的结果再次代入到此函数中，代入无数次，最终会趋近于什么结果？

举几个例子：

f(x)=\dfrac{1}{x+1}

当

x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}

时，

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于

\dfrac{-1-\sqrt5}{2}

；

当

x

为此函数的定义域内任何其他值时,

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于

\dfrac{-1+\sqrt5}{2}

f(x)=2^x-1

当

x<1

时，

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于

0

；

当

x=1

时，

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于

1

；

当

x>1

时，

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于

+\infin

f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1\quad x\le0.5\\x-1\quad x>0.5\end{matrix}\right.

当

x\in \mathbb{R}

时，

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于

(-0.5,1.5]

那么能否找到一种方法，对于任意给定的

f(x)

，都能求出

f(f(f(\cdots f(x)\cdots)))

趋近于何值或哪个区间呢？

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