关于本题做法的疑问 - 夹角的枚举

题解区的做法都是基于向量内积的性质：

然后令 $\lVert\bm\beta\rVert=1$，对 $\color{red}\angle(\boldsymbol e_1,\boldsymbol\beta)$ 积分，其中 $\boldsymbol e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$。但是，我们需要消灭的是 $\angle(\bm\alpha,\bm\beta)$，当 $\angle(\boldsymbol e_1,\boldsymbol\beta)$ 取遍 $[0, \pi)$ 时，$\angle(\bm\alpha,\bm\beta)$ 不一定取遍 $[0, \pi)$。但为什么这样的做法会得到正确结果？