关于 AGC 的 A

赛时想出这五条性质，求 dalao 验证或证伪。设矩阵

M_{i,j}

代表初始序列是

{\rm id}= (1,2,3,\dots,\infty)

，运行

{\rm shuffle}(1,i+1)

后的第

j

项。

则有五条性质：

每一列都是循环的
第 $n$ 列的循环节长度为 $2^{\left\lfloor\log_2 n\right\rfloor + 1}$ 。( $n=1$ 除外)
第 $n$ 列循环节的前 $n-2$ 个数都是 $n$ 。
考虑 $n$ 满足 $n \bmod 4 \ne 1$ ，设 $A$ 是第 $n$ 列的循环节， $A_0$ 是其去掉前 $n-2$ 个数的结果； $B$ 是第 $(n-1) \bmod 4 + 1$ 列的循环节， $B_0$ 是其取消前 $(n-1)\bmod 4-1$ 个数的结果，令 $k = n - n \bmod 4$ ，设 $C_i = A_0[i] - k$ ，则有 $B_0$ 重复 $\dfrac k4$ 遍可以得到 $C$ 。
考虑 $n$ 满足 $n \equiv 1 \pmod 4$ ，则循环节的前 $n-2$ 项是 $n$ ， $n-1$ 和 $2^{\left\lfloor\log_2 n\right\rfloor + 1}$ 项是 $n-2$ ，剩余都是 $n+1$ 。（ $n=1$ 除外）

求验证

讨论操作