关于四边形不等式的一个疑问

若函数 $val(i,j)$ 满足 $val(a,d)+val(b,c)\ge val(a,c)+val(b,d)$，则形如 $f_i=\max_{j<i}\{f_j+val(j,i)\}$ 的 dp 有什么优良性质吗？

或者说对于一般的四边形不等式推导决策单调性的dp，把价值函数替换成任意时刻都不满足四边形不等式的价值函数，那么还能用一些奇妙手段优化这个 dp 吗？