已完成今日 A+B Problem 大学习

看到了一道恶搞的简单数学题，尝试小小做一下。大部分都是乱搞，也未经严谨验证，其中有 AI 的一点贡献，若有错误请指出，我将改正并严肃学习。/ll

这家伙在说什么呢。

内容来自 Missile。/bx

题目描述

给定两个整数

a,b

，求下列式子的值。

\begin{aligned}\displaystyle&\mathfrak{S}\left(\bigoplus_{\kappa=1}^{\aleph_1}\mathfrak{G}_{\kappa}\otimes\bigwedge_{\lambda=1}^{\beth_2}\mathfrak{H}_{\lambda}\right)\times\coprod_{\mu\in\mathfrak{M}}\left[\varprojlim_{\nu\to\infty}\left(\bigsqcup_{\xi=1}^{\beth_\omega}\mathfrak{J}_{\xi,\mu}\right)\right]\oplus\left(\bigvee_{\pi\in\Pi}\mathfrak{K}_\pi\right)\otimes\left(\bigcap_{\rho=1}^{\mathfrak{d}}\mathfrak{L}_\rho\right)\\&\times\exp\left[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(-1\right)^{n\left(n+1\right)/2}}{n!}\oint_{\Gamma_n}\dfrac{\prod_{k=1}^n\left(\zeta\left(s_k\right)\Gamma\left(s_k\right)\text{Li}_{s_k}\left(e^{2\pi i/k}\right)\right)}{\sum_{m=1}^n\left(s_m^2+\dfrac{1}{s_m^3}\right)\prod_{p\neq m}\left(s_p-s_m\right)}ds_1\cdots ds_n\right]\\&\times\text{Tr}\left(\bigoplus_{r=1}^{1000}\begin{bmatrix}\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{11}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{12}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{1r}\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{21}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{22}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{2r}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r1}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r2}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{rr}\end{bmatrix}^{\otimes r}\right)\times\prod_{\substack{p\text{ prime}\\p\equiv1\ \left(\text{mod }4\right)}}\left(1+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{p^4}+\cdots+\dfrac{1}{p^{2\lfloor\log_2p\rfloor}}\right)\\&+\lim_{\substack{\epsilon\to0^+\\\delta\to0^-\\\eta\to\infty}}\dfrac{\partial^{100}}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}\left[\int_{\mathbb{R}^{100}}e^{i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle}\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}d^{100}\mathbf{k}\right]\\&\times\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_{50}=0}^\infty\dfrac{\Gamma\left(n_1+n_2+\cdots+n_{50}+1\right)}{n_1!n_2!\cdots n_{50}!\cdot\zeta\left(2n_1+3n_2+5n_3+\cdots+229n_{50}+1\right)}\\&\times\left(\bigcap_{\ell=1}^{\infty}\left\{\mathbf{z}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}\right)\cup\left(\bigcup_{d=1}^\infty\left\{\mathbf{w}\in\mathbb{H}^d:\|\mathbf{w}\|^2=\zeta\left(2d\right)\right\}\right)\\&+\dfrac{1}{\left(2\pi i\right)^{100}}\oint_{|z_1|=R_1}\cdots\oint_{|z_{100}|=R_{100}}\dfrac{\prod_{j=1}^{100}\left(\sin\left(z_j\right)\cos\left(z_j^{-1}\right)\tan\left(e^{z_j}\right)\cot\left(\ln\left(1+z_j\right)\right)\right)}{\prod_{1\leq j<k\leq100}\left(z_j-z_k\right)\cdot\prod_{m=1}^{100}\left(z_m^{1000}+z_m^{500}+1\right)}dz_1\cdots dz_{100}\\&\times\dim_{\mathbb{Q}}\left(\bigoplus_{n=1}^\infty\mathbb{Q}\left(\sqrt[n]{2}\right)\otimes\mathbb{Q}\left(\zeta_n\right)\right)\times\text{rank}\left(\bigotimes_{p\text{ prime}}\mathbb{Z}_p\right)\\&+\int_{\mathscr{M}_{g,n}}\left(\prod_{i=1}^n\psi_i^{k_i}\right)\times\exp\left(\sum_{h=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty\dfrac{\lambda_h\kappa_m}{h!m!}\right)\times\det\left(\dfrac{\partial^2\mathscr{F}}{\partial t_i\partial t_j}\right)_{i,j=1}^{1000}\\&+\dfrac{\mathscr{L}\left\{t^{\alpha-1}E_{\beta,\gamma}\left(\omega t^\delta\right)\right\}\left(s\right)\times\mathscr{F}\left\{e^{-t^2}H_n\left(t\right)\right\}\left(\omega\right)\times\mathscr{Z}\left\{\dfrac{1}{1-q^s}\right\}\left(t\right)}{\mathscr{H}\left\{\dfrac{d^n}{dt^n}\left(t^\mu e^{-\lambda t}\right)\right\}\left(s\right)\times\mathscr{M}\left\{f\left(t\right)t^{s-1}\right\}\left(z\right)}\\&+\sum_{\sigma\in S_{1000}}\text{sgn}\left(\sigma\right)\prod_{j=1}^{1000}\left(\int_0^1\dfrac{x^{\sigma\left(j\right)}}{1+x^{\sigma\left(j\right)^2}}dx\right)\times\chi_{\text{irr}}\left(\sigma\right)\times\dim V_\sigma\\&+\iiint\limits_{\mathbb{R}^{3}}\nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right)\cdot d\mathbf{S}\times\oint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\times\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{A}\\&\times\left[\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)+\nabla\cdot\left(u\nabla u\right)+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}\right]_{u=e^{i\left(kx-\omega t\right)}}\\&+\text{Res}_{s=1}\zeta\left(s\right)\times\text{Res}_{z=0}\Gamma\left(z\right)\times\text{Res}_{w=\infty}\text{Li}_s\left(w\right)\times\prod_{\text{singularities}}\left(1-\dfrac{1}{z_\nu}\right)\\&+\dim_{\mathbb{C}}H^0\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)-\dim_{\mathbb{C}}H^1\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)+\dim_{\mathbb{C}}H^2\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)-\cdots\\&+\dfrac{1}{\#G}\sum_{g\in G}\chi\left(g\right)\times\dfrac{1}{\text{Vol}\left(M\right)}\int_M\text{Ric}\left(g\right)dV_g\times\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac{1}{p_i^{s_i}}\right)^{-1}\\&+\mathscr{P}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_m\right)\times\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]\times\text{Cov}\left(X,Y\right)\times\text{Corr}\left(Z,W\right)\\&+\dfrac{d}{dt}\left\langle\psi\left|\hat{H}\right|\psi\right\rangle\times\text{Tr}\left(e^{-\beta\hat{H}}\right)\times\prod_{n=1}^\infty\left(1+e^{-\beta\epsilon_n}\right)\\&+\int\mathscr{D}[\phi]e^{-S[\phi]}\mathcal{O}[\phi]\times\det\left(\dfrac{\delta^2S}{\delta\phi\delta\phi}\right)^{-1/2}\times\exp\left(-\dfrac{1}{2}\phi\cdot\Delta^{-1}\cdot\phi\right)\\&+\sum_{\text{diagrams}}\dfrac{\left(-i\lambda\right)^n}{n!}\int d^4x_1\cdots d^4x_n\langle0|T\left(\phi\left(x_1\right)\cdots\phi\left(x_n\right)\right)|0\rangle+\text{Index}\left(D\right)\end{aligned}

输入格式

一行两个整数

a,b

。

输出格式

一行一个整数，表示上述式子的值。

样例输入

CPP

114514 1919810

样例输出

CPP

数据范围限制

对于

100\%

的数据，

a,b

满足

\begin{aligned}&\forall\delta\in\left(0,10^{-200}\right),\exists\alpha,\beta\in\mathbb{Q}\cap\left(0,1\right),\exists\gamma,\sigma\in\mathbb{Z}_{\geq3},\\&\text{使得}\forall k,l\in\mathbb{N},\forall m,n\in\mathbb{Z},\forall f\in C^\infty\left(\mathbb{R}^4\right),\\&\begin{cases}\text{1. 对 }a:\text{拓扑空间 }\left(X_a,\tau_a\right)\text{ 是紧的},\\\displaystyle\quad\text{其中 }X_a=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid\sum_{i=1}^4x_i^2\leq\left(\dfrac{|a|}{10^9}+\delta\right)^2\right\},\tau_a\text{ 为欧氏拓扑};\\\quad\text{对 }b:\text{拓扑空间 }\left(X_b,\tau_b\right)\text{ 是紧的},\\\displaystyle\quad\text{其中 }X_b=\left\{\left(y_1,y_2,y_3,y_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid\sum_{i=1}^4y_i^2\leq\left(\dfrac{|b|}{10^9}+\delta\right)^2\right\},\tau_b\text{ 为欧氏拓扑};\\\\\text{2. 对 }a:\displaystyle\text{群同态 }\phi_a:\mathbb{Z}^\gamma\to S_{\lfloor|a|+10^9\rfloor}\text{ 存在且非平凡};\\\quad\text{对 }b:\text{群同态 }\phi_b:\mathbb{Z}^\sigma\to S_{\lfloor|b|+10^9\rfloor}\text{ 存在且非平凡},\\\quad\text{其中 }S_n\text{ 为 }n\text{ 元对称群};\\\\\text{3. 对 }\displaystyle a:\text{复函数 }g_a\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{\left(z-\dfrac{a}{10^9}\right)^n}{\Gamma\left(n+\alpha\right) \cdot\zeta\left(n+3\right)\cdot\beta^n}\text{ 在 }\mathbb{D}\left(0,2\right)\subseteq\mathbb{C}\text{ 内解析};\\\quad\text{对 }\displaystyle b:\text{复函数 }g_b\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{\left(z-\dfrac{b}{10^9}\right)^n}{\Gamma\left(n+\beta\right)\cdot\zeta\left(n+3\right)\cdot\alpha^n}\text{ 在 }\mathbb{D}\left(0,2\right)\subseteq\mathbb{C}\text{ 内解析};\\\\\text{4. 对 }a:\displaystyle\text{线性算子 }T_a:L^2\left(\mathbb{R}\right)\to L^2\left(\mathbb{R}\right),\\\quad T_af\left(x\right)=\dfrac{a}{10^9}\cdot\int_{\mathbb{R}}e^{-|x-t|^2}f\left(t\right)\mathrm{dt}\text{ 的范数 }\|T_a\|\leq 1;\\\quad\text{对 }b:\displaystyle\text{线性算子 }T_b:L^2\left(\mathbb{R}\right)\to L^2\left(\mathbb{R}\right),\\\quad T_bf\left(x\right)=\dfrac{b}{10^9}\cdot\int_{\mathbb{R}}e^{-|x-t|^2}f\left(t\right)\mathrm{dt}\text{ 的范数 }\|T_b\|\leq 1;\\\\\text{5. 对 }\displaystyle a:\text{同余式 }\left(\left\lfloor\dfrac{|a|^3+10^{27}}{10^{27}}\right\rfloor+m\right)\equiv0\pmod\gamma\\\quad\text{对所有 }m\in\mathbb{Z}\text{ 成立};\\\quad\text{对 }b:\displaystyle\text{同余式 }\left(\left\lfloor\dfrac{|b|^3+10^{27}}{10^{27}}\right\rfloor+n\right)\equiv0\pmod\sigma\\\quad\text{对所有 }n\in\mathbb{Z}\text{ 成立};\\\\\text{6. 对 }a:\displaystyle\text{级数 }\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\left(-1\right)^n\cdot\sin\left(\dfrac{n a}{10^9}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{n}{|a|+1}\right)}{n^3+\lfloor\sqrt{n}\rfloor!\cdot\gamma^n}\\\quad\text{绝对收敛且和小于 }\delta;\\\quad\text{对 }b:\displaystyle\text{级数 }\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\left(-1\right)^n\cdot\sin\left(\dfrac{n b}{10^9}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{n}{|b|+1}\right)}{n^3+\lfloor\sqrt{n}\rfloor!\cdot\sigma^n}\\\quad\text{绝对收敛且和小于 }\delta;\\\\\text{7. 对 }a:\displaystyle\text{分形集 }F_a=\left\{\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\text{sign}\left(a\right)\cdot\chi_{[-\vert a\vert,\vert a\vert]}\left(n\right)}{10^{9n}\cdot\alpha^n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\\\quad \text{的 Hausdorff 维度 }\dim_H\left(F_a\right)\leq0.5;\\\quad \text{对 }b:\displaystyle\text{分形集 }F_b=\left\{\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\text{sign}\left(b\right)\cdot\chi_{[-\vert b\vert,\vert b\vert]}\left(n\right)}{10^{9n}\cdot\beta^n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\\\quad\text{的 Hausdorff 维度 }\dim_H\left(F_b\right)\leq0.5;\\\\\text{8. 对 }a:\displaystyle\text{多重积分 }\int_{[0,1]^k}\int_{[0,1]^k}\max\left(\left(\dfrac{a}{10^9}\right)^3-\left(x_1y_1+\cdots+x_ky_k\right),0\right)\\\quad dx_1\cdots dx_kdy_1\cdots dy_k<\delta;\\\quad \text{对 }b:\displaystyle\text{多重积分 }\int_{[0,1]^l}\int_{[0,1]^l}\max\left(\left(\dfrac{b}{10^9}\right)^3-\left(x_1y_1+\cdots+x_ly_l\right),0\right)\\\quad dx_1\cdots dx_ldy_1\cdots dy_l<\delta\end{cases}\end{aligned}

证明

因为题目描述很明显就是

a+b

的意思，所以这里只证怎样构造能使原式

=a+b

并解释数据范围限制的含义。有一说一真的很好看。/kk

0. 问题转化

考虑把原式

F

分割一下，我分成了

16

个部分，变为

F=T_1+T_2+\cdots+T_{16}

的形式，再考虑构造使

T_1=a,T_2=b,T_{3\sim 16}=0

。

1. 构造 $T_1=a$

$\begin{aligned}T_1=\displaystyle&\mathfrak{S}\left(\bigoplus_{\kappa=1}^{\aleph_1}\mathfrak{G}_{\kappa}\otimes\bigwedge_{\lambda=1}^{\beth_2}\mathfrak{H}_{\lambda}\right)\times\coprod_{\mu\in\mathfrak{M}}\left[\varprojlim_{\nu\to\infty}\left(\bigsqcup_{\xi=1}^{\beth_\omega}\mathfrak{J}_{\xi,\mu}\right)\right]\oplus\left(\bigvee_{\pi\in\Pi}\mathfrak{K}_\pi\right)\otimes\left(\bigcap_{\rho=1}^{\mathfrak{d}}\mathfrak{L}_\rho\right)\\&\times\exp\left[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(-1\right)^{n\left(n+1\right)/2}}{n!}\oint_{\Gamma_n}\dfrac{\prod_{k=1}^n\left(\zeta\left(s_k\right)\Gamma\left(s_k\right)\text{Li}_{s_k}\left(e^{2\pi i/k}\right)\right)}{\sum_{m=1}^n\left(s_m^2+\dfrac{1}{s_m^3}\right)\prod_{p\neq m}\left(s_p-s_m\right)}ds_1\cdots ds_n\right]\\&\times\text{Tr}\left(\bigoplus_{r=1}^{1000}\begin{bmatrix}\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{11}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{12}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{1r}\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{21}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{22}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{2r}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r1}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r2}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{rr}\end{bmatrix}^{\otimes r}\right)\times\prod_{\substack{p\text{ prime}\\p\equiv1\ \left(\text{mod }4\right)}}\left(1+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{p^4}+\cdots+\dfrac{1}{p^{2\lfloor\log_2p\rfloor}}\right)\end{aligned}$

考虑把第一部分（第一行）的值构造为

a

，剩下的乘法项（其它部分）构造为

1

即可。

1.1 设置基数与索引集

令

\aleph_1=\beth_2=\beth_\omega=\mathfrak{d}=\mathfrak{M}=\Pi=1

，这样所有无穷运算都能退化为有限或单元素运算。

1.2 新定义

令

\mathfrak{G}_1=a,\mathfrak{H}_1=1

（乘法单位元）并定义运算

\otimes

为实数乘法（其实一般地来讲就是环的乘法）。然后如果我们将

a

视为环中元素，

1

是单位元，则有

\bigoplus_{\kappa=1}^{\aleph_1}\mathfrak{G}_{\kappa}=\mathfrak{G}_1=a,\\ \bigwedge_{\lambda=1}^{\beth_2}\mathfrak{H}_{\lambda}=\mathfrak={H}_1=1,\\ \bigoplus_{\kappa=1}^{\aleph_1}\mathfrak{G}_{\kappa}\otimes\bigwedge_{\lambda=1}^{\beth_2}\mathfrak{H}_{\lambda}=a

令

\mathfrak{S}:\text{该环}\to\mathbb{R}

为恒等映射（如果环是

\mathbb{R}

或

\mathbb{Z}

的子集）则有

\mathfrak{S}(a)=a

令

\mathfrak{J}_{1,1}=1

（单位元）。

对于 $\displaystyle\bigsqcup_{\xi=1}^{1}\mathfrak{J}_{\xi,1}$ ，可以将 $\mathfrak{J}_{1,1}$ 视为单点集 $\{1\}$ 的集合运算，或者在不交并意义下可以视为基数 $1$ 。
对于 $\displaystyle\varprojlim_{\nu\to\infty}$ ，这里只有一个逆向系统（虽然 $\nu\in\mathbb{N}$ ，但是每个 $\nu$ 都能得到同一个集合 $\{1\}$ ），逆向极限是 $\{1\}$ 。
对于 $\displaystyle\coprod_{\mu\in\{1\}}$ ，余积（集合的不交并）是单点集 $\{1\}$ ，对其赋予基数 $1$ 。

在数值乘法中，我们可以将这个 “余积的基数” 作为数值

1

。于是就有

\coprod_{\mu\in\mathfrak{M}}\left[\varprojlim_{\nu\to\infty}\left(\bigsqcup_{\xi=1}^{\beth_\omega}\mathfrak{J}_{\xi,\mu}\right)\right]=1

令

\mathfrak{K}_1=0,\mathfrak{L}_1=1

，则有

\bigvee_{\pi\in\{1\}}\mathfrak{K}_{\pi}=\mathfrak{K}_1=0,\\ \bigcap_{\rho=1}^{1} \mathfrak{L}_{\rho}=\mathfrak{L}_1=1

我们定义第二个

\otimes

为乘法则有

\left(\bigvee_{\pi\in\Pi}\mathfrak{K}_\pi\right)\otimes\left(\bigcap_{\rho=1}^{\mathfrak{d}}\mathfrak{L}_\rho\right)=0\otimes1=0

1.3 处理第一部分

T_1

的第一部分可以被表示为

$\mathfrak{S}(\cdots)\times\coprod(\cdots)\oplus(\cdots)\otimes(\cdots)$

的形式，按数学运算法则（也就是乘法优先于加法）可以解释为

[\mathfrak{S}(a)\times1]\oplus[0\otimes1]

因为原式中

\oplus

可能是环的加法，所以令

\times

为普通乘法，

\oplus

为普通加法是非常合理的。所以就有

\mathfrak{S}(a)\times1=a\times1=a,\\ [a]\oplus[0]=a+0=a

所以第一部分就能化简啦。

\boxed{\mathfrak{S}\left(\bigoplus_{\kappa=1}^{\aleph_1}\mathfrak{G}_{\kappa}\otimes\bigwedge_{\lambda=1}^{\beth_2}\mathfrak{H}_{\lambda}\right)\times\coprod_{\mu\in\mathfrak{M}}\left[\varprojlim_{\nu\to\infty}\left(\bigsqcup_{\xi=1}^{\beth_\omega}\mathfrak{J}_{\xi,\mu}\right)\right]\oplus\left(\bigvee_{\pi\in\Pi}\mathfrak{K}_\pi\right)\otimes\left(\bigcap_{\rho=1}^{\mathfrak{d}}\mathfrak{L}_\rho\right)=a}

1.4 处理第二部分

T_1

的第二部分就是

$\exp\left[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(-1\right)^{n\left(n+1\right)/2}}{n!}\oint_{\Gamma_n}\dfrac{\prod_{k=1}^n\left(\zeta\left(s_k\right)\Gamma\left(s_k\right)\text{Li}_{s_k}\left(e^{2\pi i/k}\right)\right)}{\sum_{m=1}^n\left(s_m^2+\dfrac{1}{s_m^3}\right)\prod_{p\neq m}\left(s_p-s_m\right)}ds_1\cdots ds_n\right]$

我们考虑如果积分的值全部为

0

，那

\exp

的内部求和就全是

0

了，这样整个值就是

1

了。

下面定义对所有

n\ge1

，取

\Gamma_n

为一个点

s_1=s_2=\cdots=s_n=c

，其中

c

为常数，那我们要选一个

c

使得

\zeta(c)=0

。例如

c=-2

，这是黎曼

\zeta

函数的平凡零点。那么被积函数的分子

\displaystyle\prod_{k=1}^n\zeta(s_k)\cdots=0

，因为对于每个因子都有

\zeta(c)=0

。

所以第二部分也能化简啦。

\boxed{\exp\left[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(-1\right)^{n\left(n+1\right)/2}}{n!}\oint_{\Gamma_n}\dfrac{\prod_{k=1}^n\left(\zeta\left(s_k\right)\Gamma\left(s_k\right)\text{Li}_{s_k}\left(e^{2\pi i/k}\right)\right)}{\sum_{m=1}^n\left(s_m^2+\dfrac{1}{s_m^3}\right)\prod_{p\neq m}\left(s_p-s_m\right)}ds_1\cdots ds_n\right]=1}

1.5 处理第三部分

$\text{Tr}\left(\bigoplus_{r=1}^{1000}\begin{bmatrix}\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{11}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{12}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{1r}\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{21}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{22}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{2r}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r1}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r2}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{rr}\end{bmatrix}^{\otimes r}\right)$

我们令

M_r

就是里面的

r\times r

矩阵，元素是

\mathscr{D}_{ij}^{\left(r\right)}

，那么实际上直和

\displaystyle\bigoplus_{r=1}^{1000}

的迹就是这

1000

个矩阵迹的和了。于是我们令

M_1=[1]

，迹为

1

，然后对于所有

r>1

的

M_r

，令其为零矩阵

0_{r\times r}

。并且若

M_r

为零矩阵，则

M_r^{\otimes r}

也为零矩阵，迹为

0

，所以总和就为

1

。

\boxed{\text{Tr}\left(\bigoplus_{r=1}^{1000}\begin{bmatrix}\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{11}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{12}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{1r}\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{21}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{22}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{2r}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r1}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r2}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{rr}\end{bmatrix}^{\otimes r}\right)=1}

1.6 处理第四部分

$\prod_{\substack{p\text{ prime}\\p\equiv1\ \left(\text{mod }4\right)}}\left(1+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{p^4}+\cdots+\dfrac{1}{p^{2\lfloor\log_2p\rfloor}}\right)$

这部分最简单（因为也想不到其它更妙的解法了，毕竟都是新定义嘛），因为可以在这个模型中定义

\log_2p=0

，这样括号内就能化为

1+1+\cdots+1

，也就是一项，在此模型中即可视为

1

，于是这么一大坨就是一堆

1

乘起来。

\boxed{\prod_{\substack{p\text{ prime}\\p\equiv1\ \left(\text{mod }4\right)}}\left(1+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{p^4}+\cdots+\dfrac{1}{p^{2\lfloor\log_2p\rfloor}}\right)=1}

1.7 合并所有部分

\boxed{T_1=a\times 1\times 1\times 1=a}

2. 构造 $T_2=b$

$\begin{aligned}T_2=&\lim_{\substack{\epsilon\to0^+\\\delta\to0^-\\\eta\to\infty}}\dfrac{\partial^{100}}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}\left[\int_{\mathbb{R}^{100}}e^{i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle}\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}d^{100}\mathbf{k}\right]\\&\times\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_{50}=0}^\infty\dfrac{\Gamma\left(n_1+n_2+\cdots+n_{50}+1\right)}{n_1!n_2!\cdots n_{50}!\cdot\zeta\left(2n_1+3n_2+5n_3+\cdots+229n_{50}+1\right)}\\&\times\left(\bigcap_{\ell=1}^{\infty}\left\{\mathbf{z}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}\right)\cup\left(\bigcup_{d=1}^\infty\left\{\mathbf{w}\in\mathbb{H}^d:\|\mathbf{w}\|^2=\zeta\left(2d\right)\right\}\right)\end{aligned}$

可以把第一部分（第一行）的值构造为

b

，剩下部分都是

1

。但是从上往下一个比一个简单。/oh

2.1 处理第一部分

$\dfrac{\partial^{100}}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}\left[\int_{\mathbb{R}^{100}}e^{i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle}\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}d^{100}\mathbf{k}\right]$

我们可以令

\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}

为

b\cdot i^{100}\prod_{j=1}^{100}\frac{\partial}{\partial k_j}\delta^{100}(\mathbf{k})

作为

\mathbb{R}^{100}

上的分布，这样就与

\epsilon,\delta,\eta

无关了 ~~（写这些有啥用）~~。然后要对测试函数

e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}

计算导数。

由分布理论有

\left\langle\prod_{j=1}^{100}\partial_{k_j}\delta,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right\rangle=(-1)^{100}\prod_{j=1}^{100}\frac{\partial}{\partial k_j}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\bigg|_{\mathbf{k}=0}

再导，由

\dfrac{\partial}{\partial k_j}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=ix_je^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}

可推出

\frac{\partial}{\partial k_j}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\bigg|_{\mathbf{k}=0}=ix_j

所以

\left\langle\prod_{j=1}^{100}\partial_{k_j}\delta,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right\rangle=i^{100}\prod_{j=1}^{100}x_j

可得积分值

I=\int e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}F(\mathbf{k})d^{100}\mathbf{k}=b\cdot i^{100}\cdot\left[i^{100}\prod_{j=1}^{100}x_j\right]=b\prod_{j=1}^{100}x_j

然后浅浅换个元，记

x_j=\alpha_j

可得

\displaystyle I=b\prod_{j=1}^{100}\alpha_j

，再求导。

\frac{\partial^{100}I}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}=b

即为

\boxed{\dfrac{\partial^{100}}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}\left[\int_{\mathbb{R}^{100}}e^{i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle}\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}d^{100}\mathbf{k}\right]=b}

2.2 处理第二部分

$\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_{50}=0}^\infty\dfrac{\Gamma\left(n_1+n_2+\cdots+n_{50}+1\right)}{n_1!n_2!\cdots n_{50}!\cdot\zeta\left(2n_1+3n_2+5n_3+\cdots+229n_{50}+1\right)}$

发现所有

n_i=0

，那就好做啦。原式即为

\frac{\Gamma\left(1\right)}{\zeta\left(1\right)}=\frac{1}{\zeta\left(1\right)}

重新定义一波

\zeta

函数。对于函数

\zeta(s)

，

当 $s=1$ 时， $\zeta(s)=1$ 。
否则 $\zeta(s)=+\infty$ 。

然后就做完了。

\boxed{\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_{50}=0}^\infty\frac{\Gamma\left(n_1+n_2+\cdots+n_{50}+1\right)}{n_1!n_2!\cdots n_{50}!\cdot\zeta\left(2n_1+3n_2+5n_3+\cdots+229n_{50}+1\right)}=1}

2.3 处理第三部分

$\left(\bigcap_{\ell=1}^{\infty}\left\{\mathbf{z}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}\right)\cup\left(\bigcup_{d=1}^\infty\left\{\mathbf{w}\in\mathbb{H}^d:\|\mathbf{w}\|^2=\zeta\left(2d\right)\right\}\right)$

这东西是两个集合的并，要变成一个数便于相乘。

先定义一下集合

S

的权值

\text{val}(S)

，如果

S

是空集则权值为

0

，否则为

1

（就是看集合里是否有元素的布尔值）。于是考虑让第一个集合的权值变为

1

（也就是有元素），第二个变为

0

（没有元素），这样它们的并集就是

1

了。

首先构造第一个集合。令一个向量

\mathbf{v}=(0,0,\cdots,0)\in\mathbb{C}^\ell

，则

\displaystyle\sum_{j=1}^\ell 0^j=0

，而且

e^{-\ell}>0

成立。所以这个

\mathbf{v}

属于每个

\displaystyle\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}

，因此

\displaystyle\bigcap_{\ell=1}^\infty

这个集合一定有元素，因为它至少包含零序列截断的一部分。

这里要注意，

\displaystyle\bigcap_{\ell=1}^\infty

表示对所有

\ell

的交集，要求对于所有

\ell

，都有一个无限维向量

\mathbf{v}

，它的前

\ell

个分量满足条件。零向量

(0,0,\cdots)

可以看成无数维，显然满足所有条件，所以交集不是空集。

然后处理第二个集合。我们可以定义

\mathbb{H}^d

是某个虚构空间，并在这个模型中定义

\zeta(2d)=-1

，那么方程

\|\mathbf{w}\|^2 = -1

在实范数下无解，所以这些集合都是空集。~~或者还有个更简单的方法，就是直接定义第二个集合为空集。~~

\boxed{\left(\bigcap_{\ell=1}^{\infty}\left\{\mathbf{z}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}\right)\cup\left(\bigcup_{d=1}^\infty\left\{\mathbf{w}\in\mathbb{H}^d:\|\mathbf{w}\|^2=\zeta\left(2d\right)\right\}\right)=1}

2.4 合并所有部分

注意到第一部分化完之后跟

\epsilon,\delta,\eta

都没有毛线关系，于是就可以愉快地合并了。

\boxed{T_2=\lim_{\substack{\epsilon\to0^+\\\delta\to0^-\\\eta\to\infty}}[b] \times[1]\times[1]=b}

后面要构造的东西全是

0

就简单多了。

3. 构造 $T_{3\sim 16}=0$

这些东西都是单个值或乘积形式，只要让一个因式为

0

即可。比较好玩（）

3.1 构造 $T_3=0$

$T_3=\dfrac{1}{\left(2\pi i\right)^{100}}\oint_{|z_1|=R_1}\cdots\oint_{|z_{100}|=R_{100}}\dfrac{\prod_{j=1}^{100}\left(\sin\left(z_j\right)\cos\left(z_j^{-1}\right)\tan\left(e^{z_j}\right)\cot\left(\ln\left(1+z_j\right)\right)\right)}{\prod_{1\leq j<k\leq100}\left(z_j-z_k\right)\cdot\prod_{m=1}^{100}\left(z_m^{1000}+z_m^{500}+1\right)}dz_1\cdots dz_{100}$

在我们的模型中，可以新定义

\sin(z_j)\equiv0

（就是

\sin

的值恒为

0

），因此被积函数分子恒为

0

，积分值为

0

，于是就有

\boxed{T_3=0}

3.2 构造 $T_4=0$

$T_4=\dim_{\mathbb{Q}}\left(\bigoplus_{n=1}^\infty\mathbb{Q}\left(\sqrt[n]{2}\right)\otimes\mathbb{Q}\left(\zeta_n\right)\right)\times\text{rank}\left(\bigotimes_{p\text{ prime}}\mathbb{Z}_p\right)$

考虑平凡域扩张，定义

\mathbb{Q}\left(\sqrt[n]{2}\right)=\{0\}

，那么每个域都是零空间，直和也是零空间，则

\dim_{\mathbb{Q}}(\cdots)=0

，乘上任何秩都是

0

，因此

\boxed{T_4=0}

3.3 构造 $T_5=0$

$T_5=\int_{\mathscr{M}_{g,n}}\left(\prod_{i=1}^n\psi_i^{k_i}\right)\times\exp\left(\sum_{h=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty\dfrac{\lambda_h\kappa_m}{h!m!}\right)\times\det\left(\dfrac{\partial^2\mathscr{F}}{\partial t_i\partial t_j}\right)_{i,j=1}^{1000}$

我们可以随便取个

g,n

使模空间

\mathscr{M}_{g,n}

根本不存在，于是在空集上积分为

0

~~（这什么神秘解法）~~。

\boxed{T_5=0}

3.4 构造 $T_6=0$

$T_6=\dfrac{\mathscr{L}\left\{t^{\alpha-1}E_{\beta,\gamma}\left(\omega t^\delta\right)\right\}\left(s\right)\times\mathscr{F}\left\{e^{-t^2}H_n\left(t\right)\right\}\left(\omega\right)\times\mathscr{Z}\left\{\dfrac{1}{1-q^s}\right\}\left(t\right)}{\mathscr{H}\left\{\dfrac{d^n}{dt^n}\left(t^\mu e^{-\lambda t}\right)\right\}\left(s\right)\times\mathscr{M}\left\{f\left(t\right)t^{s-1}\right\}\left(z\right)}$

这个有点含金量（但不多）。考虑定义 Mittag-Leffler 函数

E_{\beta,\gamma}(x)\equiv0

，这样上面的拉普拉斯变换

\mathscr{L}\left\{t^{\alpha-1}E_{\beta,\gamma}\left(\omega t^\delta\right)\right\}\left(s\right)=0

，整个式子也为

0

。

\boxed{T_6=0}

3.5 构造 $T_7=0$

$T_7=\sum_{\sigma\in S_{1000}}\text{sgn}\left(\sigma\right)\prod_{j=1}^{1000}\left(\int_0^1\dfrac{x^{\sigma\left(j\right)}}{1+x^{\sigma\left(j\right)^2}}dx\right)\times\chi_{\text{irr}}\left(\sigma\right)\times\dim V_\sigma$

也水，定义一下所有复不可约特征

\chi_{\text{irr}}\left(\sigma\right)\equiv0

，则原式每一项均为

0

。

\boxed{T_7=0}

3.6 构造 $T_8=0$

$\begin{aligned}T_8=&\iiint\limits_{\mathbb{R}^{3}}\nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right)\cdot d\mathbf{S}\times\oint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\times\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{A}\\&\times\left[\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)+\nabla\cdot\left(u\nabla u\right)+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}\right]_{u=e^{i\left(kx-\omega t\right)}}\end{aligned}$

事实上对于

r>0

，

\nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right)

确实为

0

，但现在我们在分布意义下定义全空间为

0

，即令

\nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right)\equiv0

，那么第一重积分就变成

0

啦。

\left(u\nabla u\right)

可爱捏。

\boxed{T_8=0}

3.7 构造 $T_9=0$

$T_9=\text{Res}_{s=1}\zeta\left(s\right)\times\text{Res}_{z=0}\Gamma\left(z\right)\times\text{Res}_{w=\infty}\text{Li}_s\left(w\right)\times\prod_{\text{singularities}}\left(1-\dfrac{1}{z_\nu}\right)$

~~奇点是什么鬼？~~ 考虑定义

\zeta(s)

在

s=1

处解析（无极点），那不就是

\text{Res}_{s=1}\zeta(s)=0

了吗。

\boxed{T_9=0}

3.8 构造 $T_10=0$

$T_{10}=\dim_{\mathbb{C}}H^0\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)-\dim_{\mathbb{C}}H^1\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)+\dim_{\mathbb{C}}H^2\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)-\cdots$

有点抽象这个。我们可以任取一点

X

为一点，令层

\mathscr{O}(D)

为平凡零层，则所有上同调群

H^i=0

，维数都是

0

，那么交替和就是

0-0+0-\cdots=0

。

\boxed{T_{10}=0}

3.9 构造 $T_{11}=0$

$T_{11}=\dfrac{1}{\#G}\sum_{g\in G}\chi\left(g\right)\times\dfrac{1}{\text{Vol}\left(M\right)}\int_M\text{Ric}\left(g\right)dV_g\times\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac{1}{p_i^{s_i}}\right)^{-1}$

注意到可以令特征标为平凡特征标，即

\chi\equiv0

，那求和项就均为

0

了。

\boxed{T_{11}=0}

3.10 构造 $T_{12}=0$

$T_{12}=\mathscr{P}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_m\right)\times\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]\times\text{Cov}\left(X,Y\right)\times\text{Corr}\left(Z,W\right)$

叕新定义概率测度一定为零测度，即

\mathscr{P}\equiv0

，那么第一个因子就是

0

了。

\boxed{T_{12}=0}

3.11 构造 $T_{13}=0$

$T_{13}=\dfrac{d}{dt}\left\langle\psi\left|\hat{H}\right|\psi\right\rangle\times\text{Tr}\left(e^{-\beta\hat{H}}\right)\times\prod_{n=1}^\infty\left(1+e^{-\beta\epsilon_n}\right)$

依旧 hyw 环节。令定态波函数

\psi

为

\hat{H}

的本征态，则

\langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle

为常数，它对

t

的导数为

0

。

\boxed{T_{13}=0}

3.12 构造 $T_{14}=0$

$T_{14}=\int\mathscr{D}[\phi]e^{-S[\phi]}\mathcal{O}[\phi]\times\det\left(\dfrac{\delta^2S}{\delta\phi\delta\phi}\right)^{-1/2}\times\exp\left(-\dfrac{1}{2}\phi\cdot\Delta^{-1}\cdot\phi\right)$

我们可以取作用量

S[\phi]\equiv+\infty

，例如

S[\phi]=\int(\nabla\phi)^2+\infty\cdot\phi^2

，那么

e^{-S[\phi]}\equiv0

，路径积分泛函也为

0

。

\boxed{T_{14}=0}

3.13 构造 $T_{15}=0$

$T_{15}=\sum_{\text{diagrams}}\dfrac{\left(-i\lambda\right)^n}{n!}\int d^4x_1\cdots d^4x_n\langle0|T\left(\phi\left(x_1\right)\cdots\phi\left(x_n\right)\right)|0\rangle$

~~这不是一眼秒吗？~~ 令耦合常数

\lambda=0

，然后每一项系数就都为

0

了。

\boxed{T_{15}=0}

3.14 构造 $T_{16}=0$

$T_{16}=\text{Index}\left(D\right)$

和一位？诗人都会做。观察到

D

是某个椭圆算子，那就可以令这东西为零算子，那它的指标

\text{Index}(D)=0

。

\boxed{T_{16}=0}

4. 合并所有部分

终于处理完了 QAQ

\boxed{F=T_1+T_2+\cdots+T_{16}=a+b+0+0+\cdots+0=a+b}

构造完毕。

5. 数据范围限制

一条条来看。其实条件

5

很明显就是逗你玩的（

5.1 条件 $1$ （紧性）

$\begin{aligned}&\text{对 }a:\text{拓扑空间 }\left(X_a,\tau_a\right)\text{ 是紧的},\\&\displaystyle\text{其中 }X_a=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid\sum_{i=1}^4x_i^2\leq\left(\dfrac{|a|}{10^9}+\delta\right)^2\right\},\tau_a\text{ 为欧氏拓扑};\\&\text{对 }b:\text{拓扑空间 }\left(X_b,\tau_b\right)\text{ 是紧的},\\&\displaystyle\text{其中 }X_b=\left\{\left(y_1,y_2,y_3,y_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid\sum_{i=1}^4y_i^2\leq\left(\dfrac{|b|}{10^9}+\delta\right)^2\right\},\tau_b\text{ 为欧氏拓扑}\end{aligned}$

X_a

是

\mathbb{R}^4

中半径为

\dfrac{|a|}{10^9}+\delta

的闭球，有界闭，所以一定紧，这条自动成立。

5.2 条件 $2$ （群同态）

$\begin{aligned}&\text{对 }a:\displaystyle\text{群同态 }\phi_a:\mathbb{Z}^\gamma\to S_{\lfloor|a|+10^9\rfloor}\text{ 存在且非平凡};\\&\text{对 }b:\text{群同态 }\phi_b:\mathbb{Z}^\sigma\to S_{\lfloor|b|+10^9\rfloor}\text{ 存在且非平凡},\\&\text{其中 }S_n\text{ 为 }n\text{ 元对称群}\end{aligned}$

取

\gamma=3

，令

\mathbb{Z}^3

生成元映射到

S_{\lfloor|a|+10^9\rfloor}

中三个交换对换，即可得非平凡同态，所以一定可构造。

5.3 条件 $3$ （解析性）

$\begin{aligned}&\text{对 }\displaystyle a:\text{复函数 }g_a\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{\left(z-\dfrac{a}{10^9}\right)^n}{\Gamma\left(n+\alpha\right) \cdot\zeta\left(n+3\right)\cdot\beta^n}\text{ 在 }\mathbb{D}\left(0,2\right)\subseteq\mathbb{C}\text{ 内解析};\\&\text{对 }\displaystyle b:\text{复函数 }g_b\left(z\right)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{\left(z-\dfrac{b}{10^9}\right)^n}{\Gamma\left(n+\beta\right)\cdot\zeta\left(n+3\right)\cdot\alpha^n}\text{ 在 }\mathbb{D}\left(0,2\right)\subseteq\mathbb{C}\text{ 内解析}\end{aligned}$

令

\alpha=0.5,\beta=0.5

，并且新定义

\zeta(n+3)=(n!)^2

（

\zeta

真的新定义好多遍啊），则它的系数衰减超级快，幂级数收敛半径无穷大，一定在

|z|<2

内解析。

5.4 条件 $4$ （算子范数）

$\begin{aligned}&\text{对 }a:\displaystyle\text{线性算子 }T_a:L^2\left(\mathbb{R}\right)\to L^2\left(\mathbb{R}\right),\\&T_af\left(x\right)=\dfrac{a}{10^9}\cdot\int_{\mathbb{R}}e^{-|x-t|^2}f\left(t\right)\mathrm{dt}\text{ 的范数 }\|T_a\|\leq 1;\\&\text{对 }b:\displaystyle\text{线性算子 }T_b:L^2\left(\mathbb{R}\right)\to L^2\left(\mathbb{R}\right),\\&T_bf\left(x\right)=\dfrac{b}{10^9}\cdot\int_{\mathbb{R}}e^{-|x-t|^2}f\left(t\right)\mathrm{dt}\text{ 的范数 }\|T_b\|\leq 1\end{aligned}$

我们可以定义

\displaystyle T_af(x)=\frac{a}{10^9}\int_{\mathbb{R}}\delta^{-100}e^{-|x-t|^2/\delta^2}f(t)\mathrm{dt}

，其中的

\delta

可以足够大使范数

\|T_a\|\le 1

，所以一定可调节。

5.5 条件 $5$ （同余式）

$\begin{aligned}&\text{对 }\displaystyle a:\text{同余式 }\left(\left\lfloor\dfrac{|a|^3+10^{27}}{10^{27}}\right\rfloor+m\right)\equiv0\pmod\gamma\\&\text{对所有 }m\in\mathbb{Z}\text{ 成立};\\&\text{对 }b:\displaystyle\text{同余式 }\left(\left\lfloor\dfrac{|b|^3+10^{27}}{10^{27}}\right\rfloor+n\right)\equiv0\pmod\sigma\\&\text{对所有 }n\in\mathbb{Z}\text{ 成立}\end{aligned}$

这个乐子条件要求

\left\lfloor\dfrac{|a|^3+10^{27}}{10^{27}}\right\rfloor+m \equiv0\pmod{\gamma}~(\forall m\in\mathbb{Z})

，要让这个成立明显有

\gamma=1

，但题目里又说

\gamma\ge 3

，看个乐呵就好（

5.6 条件 $6$ （级数）

$\begin{aligned}&\text{对 }a:\displaystyle\text{级数 }\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\left(-1\right)^n\cdot\sin\left(\dfrac{n a}{10^9}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{n}{|a|+1}\right)}{n^3+\lfloor\sqrt{n}\rfloor!\cdot\gamma^n}\\&\text{绝对收敛且和小于 }\delta;\\&\text{对 }b:\displaystyle\text{级数 }\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\left(-1\right)^n\cdot\sin\left(\dfrac{n b}{10^9}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{n}{|b|+1}\right)}{n^3+\lfloor\sqrt{n}\rfloor!\cdot\sigma^n}\\&\text{绝对收敛且和小于 }\delta\end{aligned}$

分母含

\displaystyle\lfloor\sqrt{n}\rfloor!\cdot\gamma^n

，这个通项超指数衰减，绝对收敛，而且和可小于任意

\delta

，所以一定成立。

5.7 条件 $7$ （分形维数）

$\begin{aligned}&\text{对 }a:\displaystyle\text{分形集 }F_a=\left\{\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\text{sign}\left(a\right)\cdot\chi_{[-\vert a\vert,\vert a\vert]}\left(n\right)}{10^{9n}\cdot\alpha^n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\\&\text{的 Hausdorff 维度 }\dim_H\left(F_a\right)\leq0.5;\\&\text{对 }b:\displaystyle\text{分形集 }F_b=\left\{\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\text{sign}\left(b\right)\cdot\chi_{[-\vert b\vert,\vert b\vert]}\left(n\right)}{10^{9n}\cdot\beta^n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\\&\text{的 Hausdorff 维度 }\dim_H\left(F_b\right)\leq0.5\end{aligned}$

F_a

是可数集，Hausdorff 维数一定为

0\le 0.5

，所以自动成立了。

5.8 条件 $8$ （多重积分）

$\begin{aligned}&\text{对 }a:\displaystyle\text{多重积分 }\int_{[0,1]^k}\int_{[0,1]^k}\max\left(\left(\dfrac{a}{10^9}\right)^3-\left(x_1y_1+\cdots+x_ky_k\right),0\right)\\&dx_1\cdots dx_kdy_1\cdots dy_k<\delta;\\&\text{对 }b:\displaystyle\text{多重积分 }\int_{[0,1]^l}\int_{[0,1]^l}\max\left(\left(\dfrac{b}{10^9}\right)^3-\left(x_1y_1+\cdots+x_ly_l\right),0\right)\\&dx_1\cdots dx_ldy_1\cdots dy_l<\delta\end{aligned}$

不难发现如果

k

取到足够大，则

x_1y_1+\dots+x_ky_k

很大概率大于

\displaystyle\left(\frac{a}{10^9}\right)^3

，于是积分就可以任意小了，所以成立。

后记

其实原文据 Missile 所述也为 AI 生成，所以一直有人问我写这玩意有什么意义。但我坚信，无意义的终点即为有意义的最高境界。

总长度达到了

32540

Byte，看完求求点个赞喵呜 QWQ

Bonus：数一数我新定义了多少东西，并想想还有没有更优解法。

文章操作

题目描述

输入格式

输出格式

样例输入

样例输出

数据范围限制

证明

0. 问题转化

1. 构造 T1=aT_1=aT1​=a

1.1 设置基数与索引集

1.2 新定义

1.3 处理第一部分

1.4 处理第二部分

1.5 处理第三部分

1.6 处理第四部分

1.7 合并所有部分

2. 构造 T2=bT_2=bT2​=b

2.1 处理第一部分

2.2 处理第二部分

2.3 处理第三部分

2.4 合并所有部分

3. 构造 T3∼16=0T_{3\sim 16}=0T3∼16​=0

3.1 构造 T3=0T_3=0T3​=0

3.2 构造 T4=0T_4=0T4​=0

3.3 构造 T5=0T_5=0T5​=0

3.4 构造 T6=0T_6=0T6​=0

3.5 构造 T7=0T_7=0T7​=0

3.6 构造 T8=0T_8=0T8​=0

3.7 构造 T9=0T_9=0T9​=0

3.8 构造 T10=0T_10=0T1​0=0

3.9 构造 T11=0T_{11}=0T11​=0

3.10 构造 T12=0T_{12}=0T12​=0

3.11 构造 T13=0T_{13}=0T13​=0

3.12 构造 T14=0T_{14}=0T14​=0

3.13 构造 T15=0T_{15}=0T15​=0

3.14 构造 T16=0T_{16}=0T16​=0