乐理的一些随笔

绝不是因为上了《石钟山记》。

不妨以弦长丈量音符。拿纯律比较十二平均律。

众所周知，毕达哥拉斯提出，比例越简洁，两个音的和声听起来越自然悦耳。

比方说，纯五度就是

\frac32

倍的弦长。

但问题来了，如果要升调的话，比例就变了，很不好。

于是想到了一种新方法：把一个八度十二等分，变成以

2^\frac1{12}

为公比的等比数列。

这种方法就适合升调，但反过来比例就对不上了。

此谓鱼与熊掌不可得兼。

比如大三度，理论

12\log_2\frac54=3.863

，实际上

2^\frac4{12}=1.260

，误差就有点大。

列出表格：

$\frac98$	$\frac54$	$\frac43$	$\frac32$	$\frac53$	$\frac{15}8$
$2.039$	$3.863$	$4.980$	$7.020$	$8.844$	$10.883$
$1.122$	$1.260$	$1.335$	$1.498$	$1.682$	$1.888$

可见，绝对误差有时能达到

0.156

之大，所以十二平均律听上去就没有纯律那么和谐，不转调的情况下纯律是更好的选择。

那倘若以 Stern-Brocot Tree 拟合一下有理数呢？

-	1	2?	3	4!?	5!	6	7?	8!	9!	10	11!
$<$	$\frac{17}{16}$	$\frac98$	$\frac65$	$\frac43$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$
$>$	$\frac{18}{17}$	$\frac{55}{49}$	$\frac{19}{16}$	$\frac54$	$\frac43$	$\frac75$		$\frac32$	$\frac53$	$\frac74$	$\frac{15}8$
$<$	$\frac{89}{84}$		$\frac{25}{21}$	$\frac{29}{23}$		$\frac{17}{12}$		$\frac85$	$\frac{37}{22}$	$\frac95$	$\frac{17}9$
$>$			$\frac{44}{37}$	$\frac{34}{27}$		$\frac{41}{29}$		$\frac{19}{12}$		$\frac{16}9$	$\frac{168}{89}$
$<$				$\frac{63}{50}$		$\frac{99}{70}$		$\frac{27}{17}$		$\frac{41}{23}$	$\frac{185}{98}$
$>$								$\frac{100}{63}$		$\frac{57}{32}$
$<$										$\frac{98}{55}$

可以看见纯律中的比例均出现了，因此可以胡扯为什么是“十二”平均律而不是其他的数字。12 是最小的可以让纯律中比例均出现的，更大的有 23、24、31、32 等。但是 23 和 31 这种质数明显也不方便，所以 12 就是最好的了，但是其实吧，24 确实还行。附 23、24、31、32 的表格：

-	1	2	3	4!	5	6	7?	8!	9?	10!	11	12	13?	14!	15	16?	17!	18	19	20	21!	22
$<$	$\frac{33}{32}$	$\frac{17}{16}$	$\frac{11}{10}$	$\frac87$	$\frac76$	$\frac65$	$\frac54$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$
$>$	$\frac{34}{33}$		$\frac{12}{11}$	$\frac98$	$\frac{43}{37}$		$\frac{16}{13}$	$\frac54$	$\frac{17}{13}$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac{10}7$	$\frac{34}{23}$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac53$	$\frac53$	$\frac74$	$\frac95$	$\frac{15}8$	$\frac{31}{16}$
$<$	$\frac{101}{98}$		$\frac{23}{21}$	$\frac{44}{39}$	$\frac{50}{43}$		$\frac{21}{17}$	$\frac{14}{11}$	$\frac{21}{16}$	$\frac{23}{17}$	$\frac75$	$\frac{23}{16}$	$\frac{37}{25}$	$\frac{29}{19}$	$\frac85$	$\frac53$		$\frac74$	$\frac{16}9$	$\frac{11}6$	$\frac{17}9$	$\frac{33}{17}$
$>$			$\frac{81}{74}$						$\frac{80}{61}$	$\frac{50}{37}$	$\frac{39}{28}$	$\frac{33}{23}$	$\frac{145}{98}$	$\frac{32}{21}$	$\frac{11}7$	$\frac85$		$\frac{12}7$	$\frac{39}{22}$	$\frac{42}{23}$	$\frac{32}{17}$
$<$										$\frac{73}{54}$		$\frac{56}{39}$		$\frac{61}{40}$		$\frac{13}8$		$\frac{31}{18}$		$\frac{53}{29}$	$\frac{145}{77}$
$>$										$\frac{123}{91}$						$\frac{34}{21}$		$\frac{43}{25}$		$\frac{95}{52}$	$\frac{177}{94}$
$<$																$\frac{115}{71}$				$\frac{148}{81}$
$>$																$\frac{149}{92}$

-	1	2	3	4?	5	6	7?	8!	9?	10!	11	12	13	14?	15!	16	17?	18!	19	20	21	22!	23
$<$	$\frac{35}{34}$	$\frac{17}{16}$	$\frac{12}{11}$	$\frac98$	$\frac76$	$\frac65$	$\frac54$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$
$>$		$\frac{18}{17}$		$\frac{55}{49}$	$\frac{15}{13}$	$\frac{19}{16}$	$\frac{11}9$	$\frac54$	$\frac97$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac75$	$\frac{16}{11}$		$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac53$	$\frac53$	$\frac74$	$\frac{11}6$	$\frac{15}8$	$\frac{33}{17}$
$<$		$\frac{89}{84}$			$\frac{52}{45}$	$\frac{25}{21}$	$\frac{71}{58}$	$\frac{29}{23}$	$\frac{13}{10}$		$\frac{11}8$	$\frac{17}{12}$	$\frac{115}{79}$		$\frac{17}{11}$	$\frac85$	$\frac53$	$\frac{37}{22}$	$\frac74$	$\frac95$		$\frac{17}9$	$\frac{35}{18}$
$>$						$\frac{44}{37}$		$\frac{34}{27}$	$\frac{35}{27}$			$\frac{41}{29}$			$\frac{37}{24}$	$\frac{19}{12}$	$\frac{13}8$		$\frac{19}{11}$	$\frac{16}9$		$\frac{168}{89}$	$\frac{68}{35}$
$<$								$\frac{63}{50}$	$\frac{83}{64}$			$\frac{99}{70}$			$\frac{91}{59}$	$\frac{27}{17}$	$\frac{18}{11}$		$\frac{26}{15}$	$\frac{41}{23}$		$\frac{185}{98}$
$>$															$\frac{128}{83}$	$\frac{100}{63}$	$\frac{49}{30}$		$\frac{45}{26}$	$\frac{57}{32}$
$<$																	$\frac{67}{41}$			$\frac{98}{55}$
$>$																	$\frac{116}{71}$

-	1	2	3	4	5?	6	7	8	9?	10!	11	12?	13!	14	15	16	17	18?	19!	20	21	22?	23!	24	25	26	27	28?	29	30
$<$	$\frac{45}{44}$	$\frac{22}{21}$	$\frac{15}{14}$	$\frac{11}{10}$	$\frac98$	$\frac76$	$\frac65$	$\frac65$	$\frac54$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$
$>$		$\frac{23}{22}$	$\frac{31}{29}$	$\frac{12}{11}$	$\frac{19}{17}$	$\frac87$	$\frac76$	$\frac{55}{46}$	$\frac{11}9$	$\frac54$	$\frac54$	$\frac{17}{13}$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac{10}7$	$\frac{19}{13}$		$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac53$	$\frac53$	$\frac53$	$\frac74$	$\frac95$	$\frac{13}7$	$\frac{21}{11}$	$\frac{43}{22}$
$<$			$\frac{77}{72}$	$\frac{35}{32}$	$\frac{85}{76}$		$\frac{69}{59}$	$\frac{116}{97}$			$\frac97$		$\frac{111}{83}$	$\frac{11}8$	$\frac75$	$\frac{123}{86}$	$\frac{117}{80}$		$\frac{26}{17}$	$\frac{11}7$	$\frac85$	$\frac53$	$\frac{92}{55}$	$\frac{12}7$	$\frac74$	$\frac95$	$\frac{11}6$	$\frac{15}8$	$\frac{44}{23}$	$\frac{45}{23}$
$>$					$\frac{104}{93}$						$\frac{23}{18}$			$\frac{15}{11}$		$\frac{133}{93}$				$\frac{25}{16}$		$\frac{13}8$	$\frac{97}{58}$	$\frac{53}{31}$		$\frac{25}{14}$	$\frac{64}{35}$	$\frac{43}{23}$	$\frac{153}{80}$	$\frac{88}{45}$
$<$											$\frac{55}{43}$			$\frac{26}{19}$						$\frac{61}{39}$		$\frac{18}{11}$		$\frac{65}{38}$		$\frac{34}{19}$	$\frac{139}{76}$	$\frac{101}{54}$		$\frac{133}{68}$
$>$											$\frac{78}{61}$			$\frac{67}{49}$								$\frac{157}{96}$		$\frac{118}{69}$		$\frac{59}{33}$
$<$														$\frac{93}{68}$												$\frac{93}{52}$

-	1	2	3	4	5?	6	7	8	9	10?	11!	12	13?	14!	15	16	17	18?	19!	20	21	22	23?	24!	25	26	27	28	29?	30	31
$<$	$\frac{46}{45}$	$\frac{23}{22}$	$\frac{15}{14}$	$\frac{12}{11}$	$\frac98$	$\frac87$	$\frac76$	$\frac65$	$\frac54$	$\frac54$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$	$\frac21$
$>$	$\frac{47}{46}$	$\frac{24}{23}$	$\frac{16}{15}$		$\frac{10}9$	$\frac{33}{29}$	$\frac{64}{55}$	$\frac{19}{16}$	$\frac65$	$\frac{36}{29}$	$\frac54$	$\frac97$	$\frac{53}{40}$	$\frac43$	$\frac43$	$\frac75$	$\frac{13}9$	$\frac{31}{21}$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac32$	$\frac53$	$\frac53$	$\frac74$	$\frac74$	$\frac{11}6$	$\frac{13}7$	$\frac{21}{11}$	$\frac{45}{23}$
$<$		$\frac{47}{45}$			$\frac{29}{26}$	$\frac{41}{36}$		$\frac{25}{21}$	$\frac{11}9$	$\frac{77}{62}$	$\frac{14}{11}$	$\frac{13}{10}$	$\frac{110}{83}$	$\frac{19}{14}$	$\frac75$	$\frac{17}{12}$		$\frac{96}{65}$	$\frac{80}{53}$	$\frac{17}{11}$	$\frac85$	$\frac53$	$\frac53$	$\frac{37}{22}$	$\frac74$	$\frac{65}{37}$	$\frac95$		$\frac{15}8$	$\frac{23}{12}$	$\frac{92}{47}$
$>$					$\frac{39}{35}$			$\frac{44}{37}$	$\frac{17}{14}$		$\frac{19}{15}$	$\frac{35}{27}$		$\frac{23}{17}$	$\frac{11}8$	$\frac{41}{29}$			$\frac{83}{55}$	$\frac{37}{24}$	$\frac{11}7$	$\frac85$	$\frac{23}{14}$		$\frac{12}7$	$\frac{72}{41}$	$\frac{61}{34}$			$\frac{90}{47}$	$\frac{137}{70}$
$<$									$\frac{79}{65}$		$\frac{33}{26}$	$\frac{83}{64}$		$\frac{42}{31}$	$\frac{18}{13}$	$\frac{99}{70}$				$\frac{91}{59}$	$\frac{41}{26}$	$\frac{29}{18}$	$\frac{28}{17}$		$\frac{55}{32}$		$\frac{70}{39}$			$\frac{113}{59}$
$>$									$\frac{96}{79}$					$\frac{65}{48}$	$\frac{137}{99}$					$\frac{128}{83}$	$\frac{52}{33}$	$\frac{124}{77}$	$\frac{51}{31}$
$<$																						$\frac{153}{95}$	$\frac{79}{48}$

感觉好像没人像我这样思考过，别人都是什么十九平均律之类的。毕竟我这种思考方法反了，逻辑上就不通，但结果是很有趣的。

生成上述表格的代码（上面的是手动修过的，毕竟也不想把代码整太麻烦）：

z=int(input())
t=[(9,8),(5,4),(4,3),(3,2),(5,3),(15,8)]
def g(a,b):
	print('|$\\frac'+('{'+str(a)+'}'if a>9 else str(a))+('{'+str(b)+'}'if b>9 else str(b))+'$'if b<100 else'|',end='')
	if(a,b)in t:t.remove((a,b));return 1
	return 0
def f(x,s,r,a,b,c,d):
	if min(a,b,c,d)>100:print('|',end='');return 0
	if s==0:return g(c,d)if r else g(a,b)
	return f(x,s-r,0,a,b,a+c,b+d)if pow(2,x)*pow(b+d,z)<pow(a+c,z)else f(x,s-1+r,1,a+c,b+d,c,d)
h=0
print('-',end='')
for j in range(1,z):print(f'|{j}',end='')
print('\n:-:',end='')
for j in range(1,z):print('|:-:',end='')
print('\n',end='')
for i in range(2,12):
	print('$>$'if i%2 else'$<$',end='')
	for j in range(1,z):h=h+f(j,i,1,0,1,1,0)
	print()
print(h)

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