棣莫弗的滥用

准确地讲，其实是单位根的妙用。

考虑下题：求 $\cos72\degree-\cos36\degree$。

解：令 $10$ 次单位根为 $\omega$，则答案显然是 $\real(\omega^2-\omega)$。

注意到令 $z=\omega^2-\omega$ 有

这是一个整系数的方程，理应拥有两对虚根，对应十次单位根取 $\omega,\omega^3,\omega^7,\omega^9$，显然只需要把其中一对虚根拿出来。

做因式分解：

无论取哪一个二次方程，都可以得到 $\real z=-\frac12$。

然而，你可能会说，如果巧妙地对式子做变换，实际上可以用 $5$ 次单位根解决问题。的确如此，但得到的方程没有本质上的区别。

问题在于，为什么是四次方程？你说这是因为 $\varphi(10)=4$。正确。

那么，反向思考下，怎么从这个方向出题。

你告诉我，出题都喜欢 $10\degree$ 的倍数，因为整齐容易计算。

实际上，的确可以出到 $18$ 次单位根，也就是 $20\degree$ 的倍数。

第一，$\varphi(18)=6$，第二，出题不会用虚数的答案，因此可以直接通过变换的方法将六次方程转变为三次方程，然后就可以解开了。

怎么做呢？以上面为例，注意到上面图方便采用的是 $\real(\omega^2-\omega)$，但实际上可以表示为 $\frac12(\omega^2+\omega^8-\omega-\omega^9)$。这时候再写四次方程就会发现出现重根，所以开方后就直接转变为二次方程。

这样就可以随心所欲地出 $18$ 次单位根的题了。

你说解三次方程不在高中范围考纲？

并非只有 $18$ 次能出，其实只要凑出来的方程次数不高都能出。

例：$\sin\frac{2\pi}{11}+\sin\frac{6\pi}{11}+\sin\frac{8\pi}{11}+\sin\frac{10\pi}{11}+\sin\frac{18\pi}{11}$。

解：过程略，$=\frac{\sqrt{11}}2$。

例：$\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{6\pi}{13}+\cos\frac{8\pi}{13}$。

解：过程略，$=\frac{\sqrt{13}-1}4$。

例：$\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{10\pi}{13}$。

解：过程略，总之是方程 $z^3+z^2-4z+1=0$ 的某个根乘以 $\frac12$。