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线性代数

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线性代数

1 行列式

1.1 nn 阶行列式

定义 1.1.1：称以下的式子为一个 nn 阶行列式：
∣A∣=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}
其中第 ii 行第 jj 列的元素成为行列式 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 的第 (i,j)(i,j) 元素。 元素 a11,a22,⋯ ,anna_{11},a_{22},\cdots,a_{nn} 称为 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 的主对角线。
性质 1：上三角行列式的值等于其对角线元素之和。 性质 2：行列式某行（列）全为零，则行列式的值等于零。 性质 3：用常数 cc 乘以行列式的某一行（列），得到的行列式的值等于原行列式的值的 cc 倍。 性质 4：交换行列式不同的两行（列），行列式的值变号。 性质 5：若行列式两行（列）成比例，则行列式的值为零。 性质 6：若行列式中某行（列）元素均为两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和。 性质 7：行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变。 性质 8：行列式和其转置有相同的值。
定义 1.1.2：定义元素 aija_{ij} 的余子式 MijM_{ij} 为由其行列式 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 中划去第 ii 行第 jj 列后剩下的元素组成的行列式。 定义 1.1.3：在行列式 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 中，aija_{ij} 的代数余子式定义为：Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}，其中 MijM_{ij} 为 aija_{ij} 的余子式。

1.2 行列式的展开

设 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 是 nn 阶行列式，元素 aija_{ij} 的代数余子式记为 AijA_{ij}，则对任意 s,r(=1,2,⋯ ,n),s≠rs,r(=1,2,\cdots,n),s\neq r 存在：
∣A∣=∑i=1nairAir∑i=1nairAis=0\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}=\sum\limits_{i=1}^n a_{ir}A_{ir} \\ \sum\limits_{i=1}^n a_{ir}A_{is}=0

1.3 Cramer 法则

设线性方程组：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2                          ⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}
记其系数行列式为 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} ，则：
x1=∣A1∣∣A∣,x2=∣A2∣∣A∣,⋯ ,xn=∣An∣∣A∣x_1=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}},x_2=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}},\cdots,x_n=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_n\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}}
其中 ∣Aj∣\begin{vmatrix}\mathbf A_j\end{vmatrix} 为 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 去掉第 jj 列并用 b1,b2,⋯ ,bnb_1,b_2,\cdots,b_n 将之替换的 nn 阶行列式。

2 矩阵

2.1 矩阵的概念

定义 2.1.1：由 mnmn 个数 aij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯n)a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots n) 排成 mm 行 nn 列的矩形阵列：
a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{matrix}
称为 mm 行 nn 列矩阵，简称为 m×nm\times n 矩阵（或 m×nm\times n 阵）。
若 A\mathbf A 的元素全是实数则称 A\mathbf A 为实矩阵。 若 A\mathbf A 的元素全是复数则称 A\mathbf A 为复矩阵。 若所有元素均为 00 则称为零矩阵 O\mathrm O，或 Om×n\mathrm O_{m\times n}。 若 m=nm=n 则称为方阵，反之为长方阵。 若方阵 A\mathbf A 仅存在对角元 a11,a22,⋯ ,anna_{11},a_{22},\cdots,a_{nn} 则简记为 A=diag(a11,a22,⋯ ,ann)\mathbf A=\mathbf{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})。 进一步，若 a11=a22=⋯=ann=1a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=1 则称 In=diag(1,1,⋯ ,1)\mathbf {I_n}=\mathbf{diag}(1,1,\cdots,1) 为 nn 阶单位矩阵。

2.2 矩阵的运算

一、矩阵加减法
定义 2.2.1：设有两个 m×nm\times n 矩阵 A=(aij),B=(bij)\mathbf A=(a_{ij}),\mathbf B=(b_{ij})，定义 A+B\mathbf A+\mathbf B 是一个 m×nm\times n 矩阵且 A+B\mathbf A+\mathbf B 的第 (i,j)(i,j) 元素等于 aij+bija_{ij}+b_{ij}，即A+B=(aij+bij)\mathbf A+\mathbf B=(a_{ij}+b_{ij}) 矩阵的减法可看作矩阵加法的逆运算，即 A−B=(aij−bij)\mathbf A-\mathbf B=(a_{ij}-b_{ij}) 定义 2.2.2：定义 A=(aij)\mathbf A=(a_{ij}) 的负矩阵为 −A=(−aij)-\mathbf A=(-a_{ij})，则有 A+(−A)=O\mathbf A+(-\mathbf A)=\mathbf O。
矩阵加减法运算规则：
  1. 交换律：A+B=B+A\mathbf A+\mathbf B=\mathbf B+\mathbf A。
  2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)(\mathbf A+\mathbf B)+\mathbf C=\mathbf A+(\mathbf B+\mathbf C)。
  3. O+A=A+O=A\mathbf O+\mathbf A=\mathbf A+\mathbf O=\mathbf A。
  4. A+(−B)=A−B\mathbf A+(-\mathbf B)=\mathbf A-\mathbf B。
二、矩阵的数乘
定义 2.2.3：设 A\mathbf A 是一个 m×nm\times n 矩阵，A=(aij)m×n\mathbf A=(a_{ij})_{m\times n}，cc 是一个常数，定义 cA=(caij)m×nc\mathbf A=(ca_{ij})_{m\times n} 。cAc\mathbf A 称为数 cAc\mathbf A 的数乘。
矩阵的数乘运算规则：
  1. c(A+B)=cA+cBc(\mathbf A+\mathbf B)=c\mathbf A+c\mathbf B。
  2. (c+d)A=cA+dA(c+d)\mathbf A=c\mathbf A+d\mathbf A。
  3. (cd)A=c(dA)(cd)\mathbf A=c(d\mathbf A)。
  4. 1⋅A=A1\cdot\mathbf A=\mathbf A。
  5. 0⋅A=O0\cdot\mathbf A=\mathbf O。
三、矩阵的乘法
定义 2.2.4：设有 m×km\times k 矩阵 A=(aij)m×k\mathbf A=(a_{ij})_{m\times k}，以及 k×nk\times n 矩阵 B=(bij)m×n\mathbf B=(b_{ij})_{m\times n}。定义 A\mathbf A 和 B\mathbf B 的乘积 AB\mathbf A\mathbf B 是一个 m×nm\times n 矩阵且 AB\mathbf A\mathbf B 的第 (i,j)(i,j) 元素
cij=∑l=1kailbljc_{ij}=\sum\limits_{l=1}^ka_{il}b_{lj}
矩阵乘法的运算规则：
  1. 结合律：(AB)C=A(BC)(\mathbf A\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A(\mathbf B\mathbf C)。
  2. 左右分配律：A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC\mathbf A(\mathbf B+\mathbf C)=\mathbf A\mathbf B+\mathbf A\mathbf C,(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A\mathbf C+\mathbf B\mathbf C。
  3. c(AB)=(cA)B=A(cB)c(\mathbf A\mathbf B)=(c\mathbf A)\mathbf B=\mathbf A(c\mathbf B)。
  4. 对任意的 m×nm\times n 矩阵 A\mathbf A，ImA=A=AIn\mathbf {I_m}\mathbf A=\mathbf A=\mathbf A\mathbf {I_n}。
方阵幂运算规则：
  1. ArAs=Ar+s\mathbf A^r\mathbf A^s=\mathbf A^{r+s}。
  2. (Ar)s=Ars(\mathbf A^r)^s=\mathbf A^{rs}。
四、矩阵的转置
定义 2.2.5：设 A=(aij)\mathbf A=(a_{ij}) 是 m×nm\times n 矩阵，定义 A\mathbf A 的转置 AT\mathbf A^{\mathbf T} 为一个 n×mn\times m 矩阵，它的第 kk 行正好是矩阵 A\mathbf A 的第 kk 列（k=1,2,⋯ ,nk=1,2,\cdots,n）；它的第 rr 行是 A\mathbf A 的第 rr 行（r=1,2,⋯ ,nr=1,2,\cdots,n）。
矩阵转置运算规则：
  1. (AT)T=A(\mathbf A^{\mathbf T})^{\mathbf T}=\mathbf A。
  2. (A+B)T=AT+BT(\mathbf A+\mathbf B)^{\mathbf T}=\mathbf A^{\mathbf T}+\mathbf B^{\mathbf T}。
  3. (cA)T=cAT(c\mathbf A)^{\mathbf T}=c\mathbf A^{\mathbf T}。
  4. (AB)T=BTAT(\mathbf A\mathbf B)^{\mathbf T}=\mathbf B^{\mathbf T}\mathbf A^{\mathbf T}。
五、矩阵的共轭
定义 2.2.6：设 A=(aij)m×n\mathbf A=(a_{ij})_{m\times n} 是一个复矩阵，则 A\mathbf A 的共轭矩阵 A‾\overline{\mathbf A} 是一个 m×nm\times n 复矩阵，且
A‾=(a‾ij)m×n\overline{\mathbf A}=(\overline a_{ij})_{m\times n}
矩阵共轭运算规则：
  1. A+B‾=A‾+B‾\overline{\mathbf A+\mathbf B}=\overline {\mathbf A}+\overline {\mathbf B}。
  2. cA‾=c‾A‾\overline{c\mathbf A}=\overline c \overline {\mathbf A}。
  3. AB‾=A‾ B‾\overline{\mathbf A \mathbf B}=\overline{\mathbf A}\ \overline {\mathbf B}。
  4. (AT)‾=(A‾)T\overline{({\mathbf A}^{\mathbf T})}=(\overline{\mathbf A})^{\mathbf T}。
六、矩阵的迹
定义 2.2.7：设 A\mathbf A 是一个 nn 阶方阵，则 A\mathbf A 的迹为
tr(A)=∑i=1naii\mathrm{tr}(\mathbf A)=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}

2.3 方阵的逆阵

定义 2.3.1：设 A\mathbf A 是 nn 阶方阵，若存在一个 nn 阶方阵 B\mathbf B，使得：
AB=BA=In,\mathbf A\mathbf B=\mathbf B\mathbf A=\mathbf {I_n},
则称 B\mathbf B 是 A\mathbf A 的逆阵，记为 B=A−1\mathbf B=\mathbf A^{-1}。凡有逆阵的矩阵称为可逆阵或非奇异阵（简称非异阵），否则称为奇异阵。
矩阵求逆运算规则：
  1. 若 A\mathbf A 是非异阵，则 (A−1)−1=A(\mathbf A^{-1})^{-1}=\mathbf A。
  2. 若 A,B\mathbf A,\mathbf B 都是 nn 阶非异阵，则 AB\mathbf A\mathbf B 也是 nn 阶非异阵且 (AB)−1=B−1A−1(\mathbf A\mathbf B)^{-1}=\mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}。
  3. 若 A\mathbf A 是非异阵，cc 是非零数，则 cAc\mathbf A 也是非异阵且 (cA)−1=c−1A−1(c\mathbf A)^{-1}=c^{-1}\mathbf A^{-1}。
  4. 若 A\mathbf A 是非异阵，则 A\mathbf A 的转置 AT\mathbf A^{\mathbf T} 也是非异阵且 (AT)−1=(A−1)T(\mathbf A^{\mathbf T})^{-1}=(\mathbf A^{-1})^{\mathbf T}。
设 A\mathbf A 是 nn 阶方阵，这个方阵决定了一个 nn 阶行列式，记为 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 或 det⁡A\det\mathbf A。
定义 2.3.2 ：设 AA 是 nn 阶方阵，AijA_{ij} 是行列式 ∣A∣\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 中第 (i,j)(i,j) 元素 aija_{ij} 的代数余子式，则称下列方阵为 A\mathbf A 的伴随阵：
(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋱⋮A1nA2n⋯Ann)\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\ddots &\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn} \end{pmatrix}
A\mathbf A 的伴随阵通常记为 A∗\mathbf {A^*}。
引理 2.3.1：设 A\mathbf A 为 nn 阶方阵，A∗\mathbf A^* 为 A\mathbf A 的伴随阵，则
AA∗=A∗A=∣A∣⋅In\mathbf A\mathbf A^*=\mathbf A^*\mathbf A=\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}\cdot\mathbf{I_{n}}
定理 2.3.1：若 ∣A∣≠0\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}\neq0，则 A\mathbf A 是一个非异阵，且
A−1=1∣A∣A∗\mathbf A^{-1}=\dfrac{1}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}} \mathbf A^*

2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

定义 2.4.1：下列三种矩阵变换分别称为矩阵的第一类、第二类、第三类初等行（列）变换：
  1. 对调矩阵中某两行（列）的位置；
  2. 用一非零常数 cc 乘以矩阵的某一行（列）；
  3. 将矩阵的某一行（列）乘以常数 cc 后加到另一行（列）上去。
上述 33 种变换统称为矩阵的初等变换。

2.5 初等变换法求逆阵

众所周知，用伴随阵求非异阵的逆阵是相当麻烦的，有没有什么更加强势的做法推荐一下： 有的兄弟有的：
A−1A=InA−1=A−1In\mathbf A^{-1}\mathbf A=\mathbf {I_n} \\ \mathbf A^{-1}=\mathbf A^{-1}\mathbf {I_n}
上述和式子启发我们可以这样求逆阵：
考虑一个 n×2nn\times 2n 的矩阵 (AIn)(\mathbf A\mathbf {I_n})，这个矩阵的前 nn 列为 A\mathbf A，后 nn 列为 In\mathbf {I_n}。对矩阵 (AIn)(\mathbf A\mathbf {I_n}) 进行初等变换把 A\mathbf A 变成 In\mathbf {I_n}，这时右边的 In\mathbf {I_n} 就变成了 A−1\mathbf A^{-1}。

2.6 矩阵的秩

定义 2.6.1：在 m×nm\times n 矩阵 A\mathbf A 中，任取 kk 行 kk 列（k⩽m,k⩽nk\leqslant m,k\leqslant n），位于这些行列交叉处的 k2k^2 个元素，不改变他们在 A\mathbf A 中所处的位置次序二得的 kk 阶行列式，称为矩阵 A\mathbf A 的 kk 阶子式。
定义 2.6.2：设在矩阵 A\mathbf A 中有一个不等于 00 的 rr 阶子式 D\mathbf D，且所有 r+1r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 00，则 D\mathbf D 称为矩阵 A\mathbf A 的最高阶非零子式，数 rr 称为矩阵 A\mathbf A 的秩，记作 R(A)\text R(\mathbf A)。并规定零矩阵的秩为 00。

3 向量组的线性相关性

3.1 向量组及其线性组合

定义 3.1.1：nn 个有次序的数 a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n 所组成的数组称为 nn 维向量，这 nn 个数称为该向量的 nn 个分量，第 ii 个数 aia_i 称为第 ii 个分量。
定义3.1.2：给定向量组 A:a1,a2,⋯ ,amA:\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_m，对于任何一组实数 k1,k2,⋯ ,kmk_1,k_2,\cdots,k_m，表达式 ∑i=1mkiai\sum\limits_{i=1}^{m}k_i\mathbf a_i称为向量组 AA 的一个线性组合，k1,k2,⋯ ,knk_1,k_2,\cdots,k_n 称为这个线性组合的系数。

3.2 向量组的线性相关性

定义 3.2.1：给定向量组 A:a1,a2,⋯ ,amA:\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_m，如果存在不全为零的数 k1,k2,⋯ ,km\mathbf k_1,\mathbf k_2,\cdots,\mathbf k_m 使得 ∑i=1mkiai=0 \sum\limits_{i=1}^mk_i\mathbf a_i =\mathbf 0则称向量组 AA 是线性相关的，否则称为线性无关。

3.3 向量空间

定义 3.3.1：设 VV 为 nn 为向量的集合，如果集合 VV 非空，且集合 VV 对于向量的假发即数乘两种运算封闭，那么就称集合 VV 为向量空间。
定义 3.3.2：设有向量空间 V1V_1 及 V2V_2，若 V1⊆V2V_1\subseteq V_2，则称 V1V_1 是 V2V_2 的子空间。
定义 3.3.3：设 VV 为向量空间，如果 rr 个向量 a1,a2,⋯ ,ar∈V\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r\in V，且满足:
  1. a1,a2,⋯ ,ar\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r 线性无关；
  2. VV 中任一向量都可由 a1,a2,⋯ ,ar\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r 线性表示，
则称向量组 a1,a2,⋯ ,ar\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r 为向量空间 VV 的一个基，rr 称为向量空间 VV 的维数，并称 VV 为 rr 为向量空间。
定义 3.3.4：如果向量空间 VV 中取定一个及 a1,a2,⋯ ,ar\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r，那么 VV 中任一向量 x\mathbf x 可惟一的表示为x=∑i=1rλiai\mathbf x=\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i\mathbf a_i 数组 λ1,λ2,⋯ ,λr\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r 称为向量 x\mathbf x 在基 a1,a2,⋯ ,ar\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r 的坐标。 特别的，如果在 nn 为向量空间 Rn\mathbb R^n 中取单位坐标向量组 e1,e2,⋯ ,en\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n 为基，则以 x1,x2,⋯ ,xn\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_n 为分量的向量 x\mathbf x 可表示为 x=∑i=1Nxiei\mathbf x=\sum\limits_{i=1}^N x_i\mathbf e_i

4 相似矩阵及二次型

4.1 向量的内积、长度及正交性

定义 4.1.1：设有 nn 维向量
x=(x1x2⋮xn),y=(y1y2⋮yn)\mathbf x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix} , \mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}
记(x,y)=∑i=1nxiyi(\mathbf x,\mathbf y)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i 称为向量 x\mathbf x 与 y\mathbf y 之间的内积。
向量内积运算规则：
  1. (x,y)=(y,x)(\mathbf x,\mathbf y)=(\mathbf y,\mathbf x)；
  2. (λx,y)=λ(x,y)(\lambda\mathbf x,\mathbf y)=\lambda(\mathbf x,\mathbf y)；
  3. (x+y,z)=(x,z)+(y,z)(\mathbf x+\mathbf y,\mathbf z)=(\mathbf x,\mathbf z)+(\mathbf y,\mathbf z)；
  4. 当 x=0\mathbf x=\mathbf0 时，(x,x)=0(\mathbf x,\mathbf x)=0；当 x≠0\mathbf x\neq0 时，(x,x)>0(\mathbf x,\mathbf x)>0。
定义 4.1.2：令
∥x∥=(x,x)=∑i=1nxi2\begin{Vmatrix}\mathbf x\end{Vmatrix}=\sqrt{(\mathbf x,\mathbf x)}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}
称为 nn 维向量 x\mathbf x 的长度（或范数）。 特别的，当∥x∥=1\begin{Vmatrix}\mathbf x\end{Vmatrix}=1时，称 x\mathbf x 为单位向量。
定义 4.1.3：设 nn 维向量 e1,e2,⋯ ,er\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r 是向量空间 VV（V⊆RnV\subseteq\mathbb R^n）的一个基，如果 e1,e2,⋯ ,er\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r 两两正交，且都是单位向量，则称 e1,e2,⋯ ,er\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r 是 VV 的一个标准正交基。
SchmidtSchmidt 正交化
设 a1,a2,⋯ ,ar\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r 是向量空间 VV 的一个基，要求 VV 的一个标准正交基。
取：
b1=a1b2=a2−(b1,a2)(b1,b1)b1⋯br=ar−(b1,ar)(b1,b1)b1−(b2,ar)(b2,b2)b2−⋯−(br−1,ar)(br,br)br\mathbf b_1=\mathbf a_1\\\mathbf b_2=\mathbf a_2-\dfrac{(\mathbf b_1,\mathbf a_2)}{(\mathbf b_1,\mathbf b_1)}\mathbf b_1\\\cdots\\\mathbf b_r=\mathbf a_r-\dfrac{(\mathbf b_1,\mathbf a_r)}{(\mathbf b_1,\mathbf b_1)}\mathbf b_1-\dfrac{(\mathbf b_2,\mathbf a_r)}{(\mathbf b_2,\mathbf b_2)}\mathbf b_2-\cdots-\dfrac{(\mathbf b_{r-1},\mathbf a_r)}{(\mathbf b_r,\mathbf b_r)}\mathbf b_r
容易验证 b1,b2,⋯ ,br\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_r 两两正交
将它们单位化，即
e1=1∥b1∥b1,e2=1∥b2∥b2,⋯ ,er=1∥br∥br\mathbf e_1=\dfrac1{\begin{Vmatrix}\mathbf b_1\end{Vmatrix}}\mathbf b_1, \mathbf e_2=\dfrac1{\begin{Vmatrix}\mathbf b_2\end{Vmatrix}}\mathbf b_2, \cdots, \mathbf e_r=\dfrac1{\begin{Vmatrix}\mathbf b_r\end{Vmatrix}}\mathbf b_r
上述过程即称为 SchmidtSchmidt 正交化。
定义 4.1.4：如果 nn 阶矩阵 A\mathbf A 满足
ATA=I   (A−1=AT)\mathbf A^{\mathbf T}\mathbf A=\mathbf I\ \ \ (\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{\mathbf T})
则称 A\mathbf A 为正交阵。
不难证明方阵 A\mathbf A 为正交阵的充分必要条件是 A\mathbf A 的列向量都是单位向量且两两正交。
正交阵的性质：
  1. 若 A\mathbf A 为正交阵，则 A−1=AT\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{\mathbf T} 也是正交阵，且 ∣A∣=±1\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}=\pm1；
  2. 若 A\mathbf A 和 B\mathbf B 都是正交阵，则 AB\mathbf A\mathbf B 也是正交阵。
定义 4.1.5：若 P\mathbf P 为正交矩阵，则线性变换 y=Px\mathbf{y=Px} 称为正交变换。

4.2 矩阵的特征值与特征向量

定义 4.2.1：设 A\mathbf A 是 nn 阶矩阵，如果数 λ\lambda 和 nn 维非零向量 x\mathbf x 使关系式
Ax=λx\mathbf A\mathbf x=\lambda\mathbf x
成立，那么这样的数 λ\lambda 称为矩阵 A\mathbf A 的特征值，非零向量 x\mathbf x 称为 A\mathbf A 的对应与特征值 λ\lambda 的特征向量。
上式也可化为
∣A−λI∣=0\begin{vmatrix} \mathbf A-\lambda \mathbf I \end{vmatrix}=\mathbf0
称为矩阵 A\mathbf A 的特征方程，其左端称为矩阵 A\mathbf A 的特征多项式。
不难证明：
  1. ∑i=1nλi=tr(A)\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=\mathrm{tr}(\mathbf A)；
  2. ∏i=1nλi=∣A∣\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}。
定义 4.2.2：设 λ\lambda 为矩阵 A\mathbf A 的一个特征值，则由方程
(A−λI)x=0\mathbf{(A-\lambda I)x=0}
可求得非零解 x=p\mathbf{x=p}，则称 p\mathbf p 为 A\mathbf A 的对应于特征值 λ\lambda 的特征向量。

4.3 相似矩阵

定义 4.3.1：设 A\mathbf A、B\mathbf B 都是 nn 阶矩阵，若有可逆矩阵 P\mathbf P 使
P−1AP=B\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P=\mathbf B
则称 B\mathbf B 是 A\mathbf A 的相似矩阵，对 A\mathbf A 进行运算 P−1AP\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P 称为对 A\mathbf A 进行相似变换。
矩阵对角化
对 nn 阶矩阵 A\mathbf A ，寻找相似变换矩阵 P\mathbf P 使得 P−1AP=Λ\mathbf P^{-1}\mathbf{AP=\Lambda} 为对角矩阵。
将 P\mathbf P 用列向量表示为
P=(p1,p2,⋯ ,pn)\mathbf P=(\mathbf p_1,\mathbf p_2,\cdots,\mathbf p_n)
由 P−1AP=Λ\mathbf P^{-1}\mathbf{AP=\Lambda}，得 AP=PΛ\mathbf{AP=P\Lambda}，即
A(p1,p2,⋯ ,pn)=(λ1p1,λ2p2,⋯ ,λnpn)\mathbf A(\mathbf p_1,\mathbf p_2,\cdots,\mathbf p_n)=(\lambda_1\mathbf p_1,\lambda_2\mathbf p_2,\cdots,\lambda_n\mathbf p_n)
其中已用到
Λ=(λ1λ2⋱λn)\mathbf \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1& \\ &\lambda_2& \\ &&\ddots& \\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}
于是
Api=λipi\mathbf A\mathbf p_i=\lambda_i\mathbf p_i

4.4 对称矩阵的对角化

对称矩阵的性质：
  1. 对称矩阵的特征值为实数。
  2. 设 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2 是对称矩阵 A\mathbf A 的两个特征值，p1,p2\mathbf p_1,\mathbf p_2 是对应的特征向量。若 λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2，则 p1\mathbf p_1 与 p2\mathbf p_2 正交。
特别的，对称矩阵 A\mathbf A 存在正交变换矩阵 P\mathbf P 使得 A\mathbf A 经正交变换 P\mathbf P 后变为对角矩阵 Λ\mathbf\Lambda。

4.5 二次型及其标准型

定义 4.5.1：含有 nn 个变量 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n 的二次齐次函数
f(x1,x2,⋯ ,xn)=a11x12+a22x22+⋯+annxn2+2(a12x1x2+a13x1x3+⋯+an−1,nxn−1xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2(a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+\cdots+a_{n-1,n}x_{n-1}x_n)
称为二次型。
定义 4.5.2：若二次型中只含平方项，即
f(x)=k1x12+k2x22+⋯+knxn2f(x)=k_1x_1^2+k_2x_2^2+\cdots+k_nx_n^2
则称为二次型的标准型（或法式）。
若标准型的系数 k1,k2,⋯ ,knk_1,k_2,\cdots,k_n 只在 0,−1,10,-1,1 中取，则称为二次型的规范型。
当 aija_{ij} 为复数时，称 ff 为复二次型；当 aija_{ij} 为实数时，称 ff 为实二次型。
利用矩阵，可以将二次型表示为
f=xTAxf=\mathbf {x^TAx}
其中 A\mathbf A 为对称矩阵。
将对称矩阵 A\mathbf A 称为二次型 ff 的矩阵，也将 ff 称为对称矩阵 A\mathbf A 的二次型，对称矩阵 A\mathbf A 的秩也叫做二次型 ff 的秩。
定义 4.5.3：设 A\mathbf A 和 B\mathbf B 是 nn 阶矩阵，若有可逆矩阵 C\mathbf C 使 B=CTAC\mathbf {B=C^TAC}，则称矩阵 A\mathbf A 与 B\mathbf B 合同。
不难证明：
  1. 若 A\mathbf A 为对称矩阵，则 B\mathbf B 也是对称矩阵；
  2. R(B)=R(A)\mathrm R(\mathbf B)=\mathrm R(\mathbf A)。
显然对于给定二次型
f=∑i,j=1naijxixjf=\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j
总有正交变换 x=Py\mathbf {x=Py} 使 ff 化为标准型
f=∑i=1nλixi2f=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ix_i^2
其中 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n 使 ff 的矩阵 A=(aij)\mathbf A=(a_{ij}) 的特征值。

4.6 正定二次型

定义 4.6.1：设二次型 f(x)=xTAxf(\mathbf x)=\mathbf {x^TAx}，如果对任何 x≠0\mathbf {x\neq0}，都有 f(x)>0f(\mathbf x)>0 （显然 f(0)=0f(\mathbf 0)=0），则称 ff 为正定二次型，并称对称矩阵 A\mathbf A 是正定的；如果对任何 x≠0\mathbf x\neq\mathbf 0 都有 f(x)<0f(\mathbf x)<0，则称 ff 为负定二次型，并称对称矩阵 A\mathbf A 是负定的。
不难发现 nn 元二次型 f=xTAxf=\mathbf {x^TAx} 为正定的充分必要条件是：它的标准型的 nn 个系数全为正，即它的规范型的 nn 个系数全为 11。

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