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小数学题

JJHR100330
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@mimz9fi4
此快照首次捕获于
2025/12/01 17:59
3 个月前
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2025/12/01 17:59
3 个月前
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已知 x2+y2=1x^2+y^2=1，求 (x+1)(y+2)(x+1)(y+2) 的最大值。
不妨设 x=sin⁡t,y=cos⁡tx = \sin t,y = \cos t，即求 (sin⁡t+1)(cos⁡t+2)(\sin t + 1)(\cos t + 2) 的最大值。
令 f(t)=(sin⁡t+1)(cos⁡t+2)f(t) = (\sin t + 1)(\cos t + 2)。
可得 f′(t)=cos⁡2t+2cos⁡t−sin⁡2t−sin⁡tf'(t) = \cos^2 t + 2 \cos t - \sin^2 t - \sin t。
令其为 00，即 cos⁡2t+2cos⁡t−sin⁡2t−sin⁡t=0\cos^2 t + 2 \cos t - \sin^2 t - \sin t = 0。
解得：
t0=2arctan⁡[13(62+61833−74331+31833−1)]t_0 = 2 \arctan \Bigg [ \frac{1}{3} \bigg (\sqrt[3]{62+6 \sqrt{183}} - \frac{7\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{31+3\sqrt{183}}} - 1 \bigg ) \Bigg ]
为函数最大值对应点。
故原式的最大值即为：
f(t0)=f(2arctan⁡[13(62+61833−74331+31833−1)])=148(96+297216−117121833+44644+1831833)\begin{aligned} f(t_0) &= f \Bigg (2 \arctan \Bigg [ \frac{1}{3} \bigg (\sqrt[3]{62+6 \sqrt{183}} - \frac{7\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{31+3\sqrt{183}}} - 1 \bigg ) \Bigg ] \Bigg ) \\ &= \frac{1}{48}\Big( 96 + \sqrt[3]{297216 - 11712\sqrt{183}} + 4\sqrt[3]{4644+183\sqrt{183}} \Big) \end{aligned}

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