ZFC

zfc其实是一套规定了，你采用什么构造方法，构造出来的东西才能算是集合，的规则。这样比如遇到罗素悖论的时候，我们就可以说这个不是集合，所以它爱咋地咋地，我们不研究性质差到连集合都算不上的东西。

需要先说明，zfc体系里，我们研究的东西都是集合，不是集合的东西我们不研究。（当然，可以通过集合定义其它东西，只要你能在集合和你想要的东西之间转换就行，比如序列可以定义为$\{\{a_1\},\{a_1,a_2\},\{a_1,a_2,a_3\},...\}$）

我们知道各种数都有集合式的定义。自然数$n$定义为$0=\varnothing,n+1=\{n,\{n\}\}$。整数是通过加法逆元定义的。有理数有各种定义，如果用

两个集合相等，当且仅当对于任意元素，它要么同时是这两个集合的成员，要么同时不是。

这个规定了我们集合论里面认为什么样的两个集合是同一个集合。正如研究幂级数，首先要规定什么样的两个幂级数是同一个幂级数: 对于每个$n$，$n$次项系数都相等，那么两个幂级数就是同一个。

每个集合$x$都包含一个元素$y$，使得$x,y$是不交的集合。

所以我们知道，没有一个集合是自己的元素。

在一个集合中，给定一个性质，所有具有这种性质的元素构成一个集合。

这里的性质必须是确定的，是一阶逻辑可以描述的，不确定的则是Axiom of choice 选择公理 的内容了。

如果$A$是一个集合，那么$A$的所有元素的并也是一个集合。

如果一个（一阶逻辑可以描述的）函数的定义域是集合，那么它的值域也是集合。

$\mathbb N$是一个集合。这里$\mathbb N$的定义是: 包含且仅包含$0=\varnothing,n+1=n\cup\{n\}$作为元素的集合。

集合的幂集是集合。

对于一个不包含空集作为元素的集合，存在一个方法从它的每个元素中选出一个元素，构成一个新的集合。

好的现在让我们简单应用一下这些公理吧。

说明罗素悖论不是悖论

罗素悖论涉及集合"不包含自己的集合构成的集合"。我们证明它违背正则公理，因此不是集合。如果它包含自己，那它显然违背正则公理了。如果它不包含自己，那它包含自己，还是违背正则公理了。所以它不是集合。

证明两个集合的笛卡尔积是集合

笛卡尔积涉及到元组了（实际上元组$(a,b)$可以用集合$\{\{a\},\{a,b\}\}$描述），看起来我们需要使用置换公理。我们首先给两个集合各置换一下使得它俩映射到的集合不交，并且能识别属于哪个集合。然后并起来，再通过幂集的子集取出所有来自不同集合的元素构成的二元子集，就得到了所有对。然后我们再置换一下，把子集映射到元组即可。

证明AC和 Axiom of well-ordering 良序公理 等价

良序公理: 对于任意集合，其上存在一个全序。它推出AC很容易，我们只需要给每个集合取排在第一的元素即可。

另一个方向，需要想起来有zfc的时候我们可以用超限序数就又好证了。先用幂集公理和选择公理，给这个集合的每个子集选出一个候选的最小值。对于一个序数$w$，我们让第$w$小的数是: 在这个候选名单里去掉所有前面的数，如果有一个集合还没被去掉