闲聊天体运行

从开普勒定律开始，不妨尝试在不借助微元法的情况下尽可能地推导公式。

首先有运行速度。$vr\sin\theta$ 是恒定的，同时也有 $T=\frac{\pi ab}{vr\sin\theta}$，这是开二。

然后有周期，$\frac{a^3}{T^2}$ 只与 $M$ 有关。这是开三。

由圆轨道 $G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}r$ 及 $T=2\pi\frac rv$，可知 $\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$。

最后还有机械能守恒，$\frac12mv^2-G\frac{Mm}r$ 是恒定的。

容易发现，上述式子中 $m$ 都是没用的，因为假设有两个行星共享一个轨道，可以简单地看作一个行星是两个的质量之和，并没有区别。因此 $m$ 的大小不重要也无法求出。

简单梳理一下，现在有几个方程，一个关于两组某时刻的状态，一个关于一组某时刻状态以及 $a,b,T$，一个关于 $a,T,M$，一个关于一组某时刻状态以及 $M$。

然而，实际情况中，大多只会遇见两个特殊状态，即近日点与远日点，不妨记作 $v_-,r_-$ 与 $v_+,r_+$。

那么可以有方程：

以上方程含有八个变量，可以做到知三求五。