击穿一诊（大轴）

哪怕血肉剥落，哪怕骸骨腐溃，哪怕灵魂坠入永不复还的囚牢，唯有「希望」不可抛舍…因为这是那个人留给我的、唯一的宝物……

设二元组 $k_n=(a_n;b_n)$，且 $k_1=(1;2)$，对于所有的正整数 $n$，有 $k_{2n}=(a_n;a_n+b_n)$ 和 $k_{2n+1}=(b_n;a_n+b_n)$，求证：若 $i\ne j$，则 $\frac{a_i}{b_i}\ne\frac{a_j}{b_j}$。