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题解：P2019 四平方和定理 || 代数数论（2）

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@minnh1eh
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2025/12/02 05:17
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WorldMachine 题解里宣称我们真的可以做到 kk 平方和，我们来看一下. 同时, 这还是代数数论的第二篇.
本文中的 τ\tau 留作 2π2 \pi 之用, 两种视角分别写作 zz 和 qq.

整数二次型理论速览

一般定义

一个二次型 QQ 和双线性型 BB 相关联. 具体地, 对于 RR-模 MM, 若 2∈R×2 \in R^\times, 一个二次型 Q:M→RQ : M \to R 与对称双线性型 B(x⊗y)=Q(x+y)−Q(x)−Q(y)2B(x \otimes y) = \dfrac{Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2} 相关联. 对于整数 Z\mathbb Z, 2∉Z×2 \notin \mathbb Z^\times, 但是可以看出我们可以从 BB 出发, 来反推 QQ. 具体地: 对于有限秩自由 Abel 群 AA, 考虑 B:A⊗symA→ZB : A \overset{\rm sym}{\otimes} A \to \mathbb Z, 满足对偶条件: BB 给出了 A→Hom(A,Z)A \to \mathrm{Hom}(A, \mathbb Z) 的一个同构, 则称 (A,B)(A, B) 是一个并模 (unimodular). 我们记两个典型的双线性模: I+I_+ 表 11 维双线性型 xyxy, I−I_- 表 11 维双线性型 −xy-xy. 我们也用 ⟨x,y⟩\langle x, y \rangle 记 B(x⊗y)B(x \otimes y). 有时我们也研究一般的 QQ.
分析一个二次型还是要从一个矩阵考虑. 因为我们从双线性型是整值的, 所以我们的 Gram 矩阵 MM 确实可以写成一个整矩阵. 我们可以定义若干个典范不变量, 使得这些不变量与 AA 的基的选取无关, 且这些不变量至多差一个同构的意义下确定了 (A,B)(A, B). 例如, 许多高等代数书中阐述了实数的二次型理论, 而 BB 确实给出了一个 AR=A⊗ZRA \mathbb R = A \underset{\mathbb Z}\otimes \mathbb R 上的二次型, 因此它有签名 r,sr, s, 即代表这个实双线性空间同构于 I+r⊕I−sI_+^r \oplus I_-^s. 那么 (r,s)(r, s) 是实双线性空间上一个典范不变量.
对于整数二次型, 没有这么干净的典范不变量. 具体地, 对于不定型 (r,sr, s 均 >0> 0), 我们有一个结构定理; 对于 r=0r=0 或 s=0s=0, 我们只能列出几个不变量, 并说明只存在有限个 nn 维的 (A,B)(A,B) 等价类. 我们先列出几个不变量.
  • 维度 n=rk⁡An = \operatorname{rk} A. (对 ⊕\oplus 和性)
  • 正负定偏向 δ=r−s\delta = r-s, 它满足 n≡δ(mod2)n \equiv \delta \pmod 2. (对 ⊕\oplus 和性)
  • 是否有 Q(x)∈2ZQ(x) \in 2 \mathbb Z 恒成立. 它可以写作 t∈{0,1}t \in \{0, 1\}. 等于 11 称为偶模, 反之称为奇模 (对 ⊕\oplus 积性)
  • 考虑 AF2=A⊗ZF2A \mathbb F_2 = A \underset{\mathbb Z} \otimes \mathbb F_2, 则 QF2:AF2→F2Q \mathbb F_2 : A \mathbb F_2 \to \mathbb F_2 在 B:AF2→∼AF2∨B : A \mathbb F_2 \overset{\sim} \to A \mathbb F_2^\vee 下给出一个 x∈AF2x \in A \mathbb F_2, 则 Q(x)Q(x) 在 Z/8Z\mathbb Z / 8 \mathbb Z 下是良定元. 这个元素记作 σ\sigma. (对 ⊕\oplus 和性)
通过这些不变量可以衍生出一些有实际意义, 但是可以用以上不变量表示的不变量.
  • (A,B)(A,B) 的任一个 Gram 矩阵 MM 的行列式 det⁡M\det M 属于 {±1}\{\pm 1\} 且这给出了一个不变量; 这个不变量等于 D=(−1)s=(−1)(n−δ)/2D= (-1)^s = (-1)^{(n - \delta) / 2}.
  • 在 AQpA \mathbb Q_{\mathfrak p} 中, 取一个 Hilbert 记号 (−,−)∈k/k2≃Z/2Z(-, -) \in \Bbbk / \Bbbk^2 \simeq \mathbb Z / 2 \mathbb Z, 则一个不变量可以构造为: ε=∏i<j(Q(ei),Q(ej)),\varepsilon = \prod_{i < j} (Q(e_i), Q(e_j)), 其中 {ei}\{e_i\} 是 AQpA\mathbb Q_p 的一个单位正交基. 则 ε(2)\varepsilon_{(2)} 等于 (−1)(D+n−σ−1)/4,(-1)^{(D + n - \sigma - 1)/4}, 而其它 ε(p) (p≠0)\varepsilon_{(p)}\ (p \ne 0) 是 11. p=0p = 0 时等于 (−1)s(s−1)/2=(−1)(n−δ)(n−δ−2)/8(-1)^{s(s-1)/2} = (-1)^{(n - \delta)(n - \delta - 2) / 8}.
我们有时会考察线性空间 VV 上的离散自由子 Abel 群 Γ\Gamma, 这种群称作格, 下面假设 VV 是一个内积空间, 且两个 Γ\Gamma 中元素内积为整数. 一个格 Γ\Gamma 的对偶定义为 Γ∨={x:⟨x,Γ⟩⊆Z}\Gamma^\vee = \{x : \langle x, \Gamma \rangle \subseteq \mathbb Z\}. 自然 Γ=Γ∨  ⟺  Γ\Gamma = \Gamma^\vee \iff \Gamma 是并模对应格. 这样我们可以把正定的二次型转为格处理. 非正定会导致 ∣x∣=n|x| = n 有无穷多, 故不在本文考虑范围内.

例子

举几个有趣的例子. Zn\mathbb Z^n 是最经典的奇并格, 而一个被称为 E8E_8 的格是一个形如
xi∈12Z,xi−xj∈Z,∑xi∈2Zx_i \in \dfrac 12\mathbb Z, x_i - x_j \in \mathbb Z, \sum x_i \in 2 \mathbb Z
的全体 x∈Q8x \in \mathbb Q^8 构成的格. 如果你看过我对这题的另一个题解, 你会发现这个构造和 Hurwitz 整四元数神似. 这确实是一个整八元数的构造. 于是我们猜测是否存在一个好的计算 Q(x)=2nQ(x) = 2n 的个数的公式, 这个公式是
240∑d∣nd3.240 \sum_{d \mid n} d^3.
在那个题解中, 我们还提到一个点离它最近的点的距离: 对于这个格而言它等于 2\sqrt 2, 这是因为它是一个偶并格, Q(x)∈2ZQ(x) \in 2 \mathbb Z. 如果在每个点放一个大小为 22\dfrac{\sqrt 2}{2} 的 S7\mathbb S^7, 则每个球触碰到 240240 个邻球. (这两个 240240 是有道理的, 顺便一提, 这个 240240 写成算式是 27+4(82)\displaystyle 2^7 + 4\binom 82, 分别代表 88 个 12\dfrac 12 + 偶数个负号和 22 个 11 + 66 个 00 + 11 随意加负号.)
一个更神秘的格是 Leech 格, 它也是偶并格. 其显式构造为
ΓLeech={(2−3/2xi)∈R24:xi∈Z,∑xi≡4x0≡⋯≡4x23(mod8)}.\Gamma_{\rm Leech} = \left\{(2^{-3/2} x_i) \in \mathbb R^{24} : x_i \in \mathbb Z, \sum x_i \equiv 4x_0 \equiv \dots \equiv 4x_{23} \pmod 8 \right\}.
它与弦论密切相关. 另外, Aut(ΓLeech)\mathrm{Aut}(\Gamma_{\rm Leech}) 称为 Conway 群 (0), 记作 Co0\mathrm{Co}_0. 其阶为
222⋅39⋅54⋅72⋅11⋅13⋅23,2^{22} \cdot 3^9 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 23,
通过 Co0{\rm Co}_0 可以得到三个散在单群, 这三个散在单群分别称为 Conway 群 (1/2/3). 如果把每个 Leech 格点放一个 S23\mathbb S^{23}, 则每个球和 196 560196\ 560 个球接触, 算式由于篇幅原因略去.
这两个格都有一些代数数论渊源: 考虑一个 R∣F∣Q\mathbb R|F|\mathbb Q, 令 r=[F:Q]r = [F : \mathbb Q]. 考虑四元数代数 H∣FH|F 使得任取实嵌入 σ:F→R\sigma : F \to \mathbb R 永远有
RH=H⊗σ(F)R≃H.\mathbb RH = H \underset{\sigma(F)} \otimes \mathbb R \simeq \mathbb H.
那么通过把所有 FRF \mathbb R 诱导的 H→HH \to \mathbb H 的映射收集起来得到一个集合 SS. 这个映射记作 ρ\rho. 那么规定: R1(F)R_1(F) 为
Q(a)=12∑ρ∈S∣ρ(a)∣2,a∈O,O 是一个 OF-阶.Q(a) = \dfrac 12 \sum_{\rho \in S} |\rho(a)|^2, a \in \mathcal O, \mathcal O\ \text{是一个}\ \mathcal O_F\text-{阶}.
而 R3(F)R_3(F) 如下构造: 取 ω∈O×\omega \in \mathcal O^\times 使得 ω3=1\omega^3 = 1, 那么这是一个 Z[ω]\mathbb Z[\omega] 下维度为 2r2r 的格. 同时考虑素理想 p=(1−ω)\mathfrak p = (1 - \omega). 定义
R3(F)={(x0,x1,x2)∈p−1O3:x0≡x1≡x2,x0+x1+x2≡0},R_3(F) = \{(x_0,x_1,x_2) \in \mathfrak p^{-1} \mathcal O^3 : x_0 \equiv x_1 \equiv x_2, x_0+x_1+x_2 \equiv 0\},
其中 ≡\equiv 在 (mod)O\pmod \mathcal O 意义下.
FFH×H^\timesR1(F)R_1(F)R3(F)R_3(F)
Q\mathbb Q双星尘群 1 (24)D4D_4K12K_{12}
Q[2]\mathbb Q[\sqrt 2]双苍穹群 2 (48)D8D_8Niemier D83D_8^3
Q[3]\mathbb Q[\sqrt 3]双星尘群 (24)E7⊕A1E_7 \oplus A_1Niemier E73⊕A13E_7^3 \oplus A_1^3
Q[φ]\mathbb Q[\varphi]双海伊群 3 (120)E8E_8Leech
双 G⊆SO(3)G \subseteq \mathrm{SO}(3) 的意思是, GG 在 SU(2)→SO(3)\mathrm{SU}(2) \to \mathrm{SO}(3) 下的原象. 括号内的数表示群的阶.
这里将不介绍一些术语的意思, 否则这里就太长了. 话说大家是否喜欢像这样 neta 一些亚文化?

二元二次型和 Bhargava 复合一瞥

二元二次型 Q2(Z)\mathcal Q_2(\mathbb Z) 只有 ax2+bxy+cy2ax^2 + bxy + cy^2, 在齐次化意义下是 aq2+bq+c,q∈P1(Q)a q^2 +bq + c, q \in \mathbb P^1(\mathbb Q). 因此我们动用初中数学思维, 定义判别式 Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4 ac (一些书籍记 DD, 同时设 Δ=−D\Delta = -D). 同时看到 P1\mathbb P^1 考虑其自同构群 Aut(P1(Q))=PSL2(Z)\mathrm{Aut}(\mathbb P^1(\mathbb Q)) = \mathrm{PSL}_2(\mathbb Z), 后文这个群记作 GG. GG 在 Q2(Z)\mathcal Q_2(\mathbb Z) 上自然作用.
当 Δ<0\Delta < 0 时, 一个 X2+Y2=NX^2 +Y^2 = N 的整解对应于 Z[−1]\mathbb Z[\sqrt{-1}] 的分解, 因此我们考虑 K=Q[Δ]K = \mathbb Q[\sqrt \Delta]. 当然这时候我们不取 OK\mathcal O_K 了, 我们退而求其次, R=Z[α]R = \mathbb Z[\alpha], α\alpha 是 aq2+bq+c=0aq^2+bq+c=0 的根. 那么看出我们能放进范数 NK∣Q{\rm N}_{K | \mathbb Q} 的元素应该是 I=aRI = a R. 也就是说, Q(x)↔NK∣Q(y)Q(x) \leftrightarrow {\rm N}_{K \mid \mathbb Q}(y) (y∈Iy \in I). 那么这里理想类群理论大展身手: II 的乘法对应于 Q2(Z)\mathcal Q_2(\mathbb Z) 等价类的乘法. 这件事我们又称为复合. 有: 若 PP 表示 mm, QQ 表示 nn, 则 P∘QP \circ Q 表示 mnmn.
关于复合, 我们不得不提到 2014 年 Fields 奖, Bhargava 复合律. 首先考虑 B∈⨂3Z2B \in \bigotimes^3\mathbb Z^2, 那么可以考虑
for⁡u∈Z2∨,B0=B(u,−,−),B1=B(−,u,−),B2=B(−,−,u).\begin{aligned} \operatorname{for} u \in \mathbb Z^{2 \vee}, B_0 = B(u,-,-), \\ B_1=B(-,u,-), B_2=B(-,-,u). \end{aligned}
那么, 有 −det⁡Bi-\det B_i 关于 uu 是一个二次型 QiQ_i. 那么有: ΔQ0=ΔQ1=ΔQ2\Delta_{Q_0} = \Delta_{Q_1} = \Delta_{Q_2}. 这是因为, 不难看出这三个 Δ\Delta 是四次的 SL2(Z)3\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)^3 的不变量. 而下面的表示论论证告诉我们这样的 Δ\Delta 有且仅有至多差一个同构的一个. 这个论证非常漂亮, 但是它离题太远, 所以放到云剪贴板中. 这个量被称为 Cayley 超行列式.
现在考虑带定向的 (⋀2R≃Z)\left(\bigwedge^2 R \simeq \mathbb Z\right) 二次环 RR, 其一个定向理想是一个 11 秩投射 RR-模. 那么 Bhargava 提出, 对于资料 (R;I0,1,2)(R;I_{0,1,2}), 满足 I0⊗RI1⊗RI2≃RI_0 \underset{R}{\otimes} I_1 \underset{R}{\otimes} I_2 \simeq R, 则 b=Tr(≃)b = \mathrm{Tr}(\simeq) 是关于 I0∨,I1∨,I2∨I_0^\vee, I_1^\lor, I_2^\lor 的三线性形式; 而这是一个双射: 对于 BB, 先写出 Q0,Q1,Q2Q_0, Q_1, Q_2, 他们的偶 Clifford 代数给出三个二次环 R0,R1,R2R_0, R_1, R_2. 而我们证明的判别式相等说明有一个统一的判别式 Δ\Delta, 但对于一个固定的 Δ\Delta, 只存在唯一一个 Z\mathbb Z-阶, 因此 RiR_{i} 互相同构.
（我没写完！！！别到时候忘了我没写完这件事了。）

Hasse-Minkwoski 定理

（尽量避免传统的长分类讨论）

纠错码理论

15、290 定理

传统模形式方法

自守形式

Langlands 纲领一瞥

Footnotes

  1. 星尘群: 《五维介质》设定. 正四面体群. ↩
  2. 苍穹群: 《五维介质》设定. 正八面体群. ↩
  3. 海伊群: 《五维介质》设定. 正二十面体群. ↩

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