数学笔记全文

修订

精妙的解题方法

常见抽象函数及其模型

• $f(x\pm y)=f(x)\pm f(y) \implies f(x)=kx\ (k\neq 0)$
  • $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 证单调性/奇偶性：
    $\forall x_1,x_2 \in \R,\ x_1<x_2,\ f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2+x_2)-f(x_2)=f(x_1-x_2)$
• $f(xy)=f(x)+f(y)\ 或 \ f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y) \implies f(x)=\log_a x\ (a>0\ 且 \ a\neq 1)$
  • $f(xy)=f(x)+f(y)$ 证单调性/奇偶性：
    $f(1)=f(1)+f(1)=0\ 且\ f(-1)=f(-1)+(1)=0$
    $f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x})=0\ 且\ f(-1)=f(-x)+f(\frac{1}{x})=0$
    $\therefore f(x)=f(-x)$
• $f(xy)=f(x)f(y)\ 或 \ f(\frac{x}{y})=\frac{f(x)}{f(y)} \implies f(x)=x^a$
• $f(x+y)=f(x)f(y)\ 或 \ f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)} \implies f(x)=a^x\ (a>0\ 且 \ a\neq 1)$
• $f(x\pm y)=\frac{f(x)\pm f(y)}{1\mp f(x)f(y)} \implies f(x)=\tan x\ (x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\Z)$

求值域

• 分离常数 $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{ac-bd}{c^2(x+\frac{d}{c})}$
  例：求 $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2+x+1}$ 值域，先求出定义域 $\R$。
  $\frac{x^2-x-1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x+2}{x^2+x+1},\text{ }$ 令 $g(x)=\frac{x^2+x+1}{2x+2}, f(x)=1-\frac{1}{g(x)}$
  $g(x)=\frac{x^2+x+1}{2x+2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x+2}=\frac{x+1}{2}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2}$
  对 $x$ 分类讨论后使用基本不等式。
  $\begin{cases} x+1\ge 0, x\ge -1, g(x)\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ x+1=0, x=-1, g(x) 无意义，f(x)=1 \\ x+1\le 0, x\le -1, g(x)\leq -\frac{3}{2} \end{cases}$
  综上所述， $g(x)\in (-\infty,-\frac{3}{2}]\bigcup[\frac{1}{2},\infty)$, $\frac{1}{g(x)}\in[-\frac{2}{3},0)\bigcup(0,2]$
  $f(x)\in[-1,\frac{5}{3}],$ 取最值时 $x=-2 \ \text{or } x=0$。
• 三角换元（ 形如 $y=\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx-d}$ 求最值 ）
  例：求 $y=\sqrt{x-4}+\sqrt{18-3x}$ 的值域，先求出定义域 $[4,6]$。
  令 $x=4+\sin^2\theta$ 且其中 $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，除去根号可得值域 $[\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。
• 数形结合（ 将军饮马，圆，斜率... ）
  例 1：求 $f(x)=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x-2)^2+9}$ 最小值？
  转化为求 $(x,0)(1,2)(2,3)$ 之间的距离 答案 $\sqrt{26}$。
  例 2：$f(x)=\frac{\sin x-1}{\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}}\ (x\in[0,2\pi])$ 的最小值 ？
  $\because\ \sin^2x+\cos^2x=1\\$
  $\therefore \begin{aligned}f(x)&=\frac{\sin x-1}{\sqrt{\sin^2x-2\sin x+1+\cos^2x-2\cos x+1}}=\frac{\sin x-1}{\sqrt{(\sin x-1)^2+(\cos x-1)^2}}\\&=-\frac{1-\sin x}{\sqrt{(1-\sin x)^2+(1-\cos x)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1-\cos x}{1-\sin x})^2}}\end{aligned}$
  当 $\sin x\neq 1$ 时，令 $g(x)=(\frac{1-\cos x}{1-\sin x})^2,f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+g(x)}}$，$\\$ 显然，$g(x)$ 的含义是点 $(1,1)$ 与单位圆上的点 $(\sin x,\cos x)$ 的连线的斜率的平方。
  注意到，$g(x)\geq 0$，所以 $f(x)\in [-1,0]$。

拉格朗日乘数法

偏导数 - 多元函数的导数

拉格朗日乘数法

泰勒展开在比较大小中的应用

• 强制开根号：$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$。
• 手算根号：首先有一个恒等式

• 二维空间中欧几里得距离：$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
• 三维空间中欧几里得距离：$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
• 二维空间中曼哈顿距离：$|AB|=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
• 二维空间中切比雪夫距离：$d(A,B)=\mathrm{max}(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$
• 欧拉公式： $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, 当 $x=\pi$ 时满足 $e^{i\pi}+1=0$
  推导：$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x - i\sin x$，两式相加移项得 $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
• 二项式定理：$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}C^{i}_{n}a^{n-i}b^i$，各二项式系数之和 $=2^n$，且奇数项 $=$ 偶数项。
• $\text{Fibonacci}$ 通项公式：$f(x)=\frac{\sqrt{5}}{5}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^x-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^x]$
• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\implies$ （ 合比定理 ）$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$（ 分比定理 ）$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\implies$（ 合分比定理 ）$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
• $\sin10\degree\sin30\degree\sin50\degree\sin70\degree=\frac{1}{2}\cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree=\frac{2\sin20\degree\cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree}{4\sin20\degree}=\frac{2\sin40\degree\cos40\degree\cos80\degree}{8\sin20\degree}=\frac{\sin160\degree}{16\sin20\degree}=\frac{1}{16}$
• 求 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 或 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ 的单调区间：类似 $\set{x|-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z}$ 求解可得。
• $\text{Fibonacci}$ 二平方恒等式：$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2$，同理还有 $\text{Euler}$ 四平方恒等式。
• $(ac+bd)^2\leq(a^2+b^2)(c^2+d^2),a,b,c,d\in\R$
• 已知直线 $AB,AC$ 的解析式，要求它们的角平分线 $AT$ 的解析式有：

• 已知 $\Delta ABC$ 和点 $M$ 满足 $\overrightarrow{MB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}=\mathbf{0}$，$D$ 为 $AB$ 中点，则 $\frac{|\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{BM}|}=\ ?$
  可以将所有点放到一条直线上，让 $A,C$ 两点重合，得出 $MB=3MA$，显然 $\frac{MD}{BM}=\frac{1}{3}$。
• 已知 $\mathbf{a}\neq\mathbf{b},|\mathbf{b}|\neq 0,\forall t\in\R$ 有 $|\mathbf{a}-t\mathbf{b}|\geq|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 恒成立
  则 $\sqrt{(\mathbf{a}-t\mathbf{b})^2}\geq\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2}\implies\mathbf{b}^2 t^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}t+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}^2\geq 0$
  $\Delta=4(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2-4\mathbf{b}^2(2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}^2)\leq 0\implies\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=0,\mathbf{b}\perp(\mathbf{a}-\mathbf{b})$
  也可使用几何法，转化为垂线段最短。
• 如果 $k,u,v,w>0$ 并且 $\frac{1}{u^2+k}+\frac{1}{v^2+k}+\frac{1}{w^2+k}=\frac{2}{k}$，那么 $u\sin A+v\sin B+w\sin C\leq \frac{1}{k}\sqrt{(u^2+k)(v^2+k)(w^2+k)}$ 当且仅当 $\frac{u^2+k}{u}\sin A=\frac{v^2+k}{v}\sin B=\frac{w^2+k}{w}\sin C$ 或者 $u\cos A=v\cos B=w\cos C$
• 小球称重问题
  1. 有 $N$ 个小球，已知有 $1$ 个小球比其他小球偏重，使用天平，最少要多少次才能确保找到那个小球 ？（题干改成「偏轻」也可以）
  2. 有 $N$ 个小球，已知有 $1$ 个小球和其他小球质量不同，使用天平，最少要多少次才能确保找到那个质量不同的小球（并知道它比其他小球轻还是重）？
  3. 有 $N$ 个小球，已知有 $1$ 个小球和其他小球质量不同，使用天平，最少要多少次才能确保找到那个质量不同的小球（无需知道它的轻重）？
  答案分别为 $\lceil\log_3 N\rceil,\lceil\log_3(2N+3)\rceil,\lceil\log_3(2N+1)\rceil$

应试要求

• 方程两边同除一个数要写明这个数 $\neq 0$，求 $f(x)\neq 0$ 的解集用 "且" 连接，如求 $x^2-2x-3\neq 0$ 的解集 $\implies x\neq 3$ 且 $x\neq -1$。
• 保留 $n$ 位有效数字：从左到右读到第一个不为 $0$ 的数位后向后继续读 $(n-1)$ 位并四舍五入。
  如对 $0.0168$ 保留 $2$ 位有效数字：$0.017$
• 集合：考虑空集，条件注意是否有写 “不充分” “不必要” 等字眼
• 不等式：求 $(ax+by)_{\min}$ 且已知 $\frac{n}{x}+\frac{m}{y}=k,x>0,y>0$，则 $ax+by=\frac{(ax+by)(\frac{n}{x}+\frac{m}{y})}{k}$，再用基本不等式化简。
  写明取等条件，例如 $(x=\dots,y=\dots)$。
• 函数：通过奇偶性求函数解析式需 检验；写出单调区间时用 $,$ 不用 $\bigcup$。
  比如 "$y=\sin x$ 在第二象限为减函数 " 是错误的，因为第二象限相当于很多个区间取并，即 $(\ \ )\bigcup(\ \ )\bigcup...\bigcup(\ \ )$，而表示单调性不能用 $\bigcup$。
  求出函数表达式需写定义域，并且必须化至最简。
• 二分法精确度：$f(a)f(b)<0$ 且 $b-a\le \epsilon$
• 第 一/二/三/四 象限均不包括 坐标轴。
• 使用 $A\sin\alpha+B\cos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\arctan{\frac{B}{A}})$ 需写详细过程，不可跳步。
  $\frac{B}{A}<0$ 时，需检验 $\varphi$ 位于第二象限还是第四象限。
• 作图题：列表描点，曲线自然，直尺。
• 应用题：求出函数表达式需写定义域，分类讨论取最大值或最小值时需写明 $\because A>B \ \therefore 选A$。
  如 $f(\sqrt{x}+1)=x-2$，求 $f(x)=x^2-2x-1\ 且\ x\in [1,+\infty)$
• 向量：$|\mathbf{t}|=\sqrt{\mathbf{t}^2}$；注意向量共线（ 正向 or 反向 ）的情况；回答时写明 大小+方向；几何法不行 $\to$ 建系；注意与三角函数结合（ 三角换元，出现动点注意坐标用三角函数表示... ）；利用初中技巧（ 倍长中线 ）。
  若已知 $\mathbf{a}=(1,2)$，则任意平移 $\mathbf{a}$ 得到 $\mathbf{b}$，因为模长不变，所以 $\mathbf{b}=(1,2)$。
• 解三角形：写明 "在...三角形中""由正 / 余弦定理得"；已知 $\Delta ABC$ 先写 $A\in(0,\pi)$，再写 $A=...\degree$
  注意：已知 $\sin x=\sin y$，则有两种情况：$x=y$ 或 $x=\pi -y$。
• 立体几何：在棱柱（ 包括长方体，正方体等 ）中证明时，只能使用直棱柱的侧棱互相平行且相等这一性质，其余均需证明。
  在空间中，不能用两组对边分别相等证明平行四边形。
• 概率：要写明 $A,B,\dots$ 是互斥事件 / 对立事件等。枚举时要写明有序 / 无序，有序用 $(A,B)$，无序用 $AB$。记 $\dots$ 为 $x_1,x_2$，则样本点为 $(x_1,x_2)$。
• 解析几何：讨论斜率存在/不存在，联立之后算 $\Delta>0$。