证明无限个任意图形可以密铺任意图形

标题的意思是，欧几里得平面上，对于任意有界且有面积的图形$A,B$（有限段曲线围成的封闭图形），任意$\varepsilon>0$，都存在一种在$B$中放置有限个和$A$相似的图形的方案，满足它们两两不交，并且$B$中没有被这些图形覆盖的面积不超过总面积的$\varepsilon$倍。

证明考虑，只需证明$B$是正方形的情况。那么假设$B$的面积是$1$，我们放一个尽可能大的$A$，它占据$B$的面积的比例是常数$c>0$。反证法，如果没被覆盖的比例有下确界$k$，那么我们放完尽可能大的$A$之后，可以用正方形逼近剩下的部分（面积为$1-c$），然后用$A$逼近它们，那么对于任意$t>0$，都存在一个方案，使得剩下的部分只有$k(1-c)+t$的面积没被覆盖。那么整个图形就有$k$的面积没有被覆盖。由于我们可以选出$t$使得

就导出矛盾，除非$k=0$。得证。

这个问题是我尝试证明复分析的柯西定理对幂级数成立的时候想到的。

更难的问题: 证明或推翻，存在一列用不交的圆逐渐填满正方形的方案，使得每一个方案中的圆都在后面所有方案中出现。