数学笔记全文

修订

三角恒等变换

诱导公式

• 毕达哥拉斯定理：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，两边同除 $\sin^2x$ 或 $\cos^2x$ 可得 $1+\tan^2x=\sec^2x,1+\cot^2x=\csc^2x$。
• $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot x=\frac{1}{\tan x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}$
• 奇函数：$\sin,\tan,\cot,\csc\ \ \ \ \text{}$ 偶函数：$\cos,\sec$

简单的三角恒等变换

• $A\sin\alpha+B\cos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\varphi)$ , 其中 $\tan\varphi={B\over A}$，$\tan\varphi<0$ 时，需检验 $\varphi$ 位于第二象限还是第四象限。
• $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$
• $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$
• $1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{a}{2}$，$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{a}{2}$
• $\tan^2\alpha\sin^2\alpha=\tan^2\alpha-\sin^2\alpha$
• 对于任意非直角三角形中，总有 $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
  经典值：$\tan A=1,\ \tan B=2,\ \tan C=3$, 此时 $A=45\degree,\ B=63.43\degree,\ C=71.57\degree$
• 其他三角形恒等式（ $\Delta ABC$ 中 ）：$\begin{cases} \sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \\ \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \\ \cot A+\cot B+\cot C=4\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2} \\ \sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2+2\cos A\cos B\cos C \\ \cos^2A+ \cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C \\ \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C \\ \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4\cos A\cos B\cos C\\ \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}=1 \end{cases}$
• 若已知 $\tan \alpha=k,$ 则有 $\frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}{m\sin\alpha+n\cos\alpha}=\frac{ak+b}{mk+n}$。
• $\frac{1-\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{1}{2}\tan 2\alpha$，$\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{1}{2}\sin 2\alpha$
• 对于 $x\in (0,\frac{\pi}{2}),\ \sin x<x<\tan x$。

三角函数的平移

• $y=A\sin(\omega x+\varphi)+h\ 或\ y=A\cos(\omega x+\varphi)+h \implies T=\frac{2\pi}{|\omega|}$
  三角函数的应用：振幅 $A$ 周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 频率 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$ 相位 $\omega x+\varphi$ 初相 $\varphi$
• $y=A\tan(\omega x+\varphi)+h\implies T=\frac{\pi}{|\omega|}$
• 三角函数里图像的平移都是针对单个 $x$ 进行 左加右减。
  例：$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$ 向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$：
  $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1 \implies y=3\sin[2(x+\frac{\pi}{6})]+1$
  第一步转移变成 $y=3\sin[2(x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})]+1 \implies y=3\sin(2x+\frac{5\pi}{6})+1$
  第二步转移变成 $y=3\sin(4x+\frac{5\pi}{6})+1$

三角不等式

平面向量

定义及基本运算

• 我们把既有大小又有方向的量称为向量，把只有大小没有方向的量称为数量。向量用有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 表示（ 但向量 $\neq$ 有向线段 ），它的长度/模记作 $|\overrightarrow{AB}|$。 长度等于 $1$ 个单位长度的向量，称为单位向量，一般用 $\mathbf{e}$ 表示。长度等于 $0$ 个单位长度的向量，称为零向量，用 $\mathbf{0}$ 表示，它的方向是任意的。坐标轴不能说是向量（ 没有长度 ）。
• 平行向量 / 共线向量：方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量。零向量与任何向量平行。所以 $\mathbf{a}//\mathbf{b},\mathbf{b}//\mathbf{c}\ \xcancel{\implies}\ \mathbf{a}//\mathbf{c}$。
  向量 $\mathbf{a}(\mathbf{a}\neq\mathbf{0})$ 与 $\mathbf{b}$ 共线 $\Longleftrightarrow$ 存在唯一一个实数 $\lambda$ 使 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$。
• 相等向量：长度相等 且 方向相同的两个向量。相反向量：长度相等 且 方向相反的两个向量。
• 投影向量：设 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a},\overrightarrow{CD}=\mathbf{b}$，过 $\overrightarrow{AB}$ 的起点 $A$ 和终点 $B$，分别作 $\overrightarrow{CD}$ 所在直线的垂线，垂足分别为 $A_1,B_1$ 并得到 $\overrightarrow{A_1B_1}$，称上述变换为向量 $\mathbf{a}$ 向向量 $\mathbf{b}$ 投影，$\overrightarrow{A_1B_1}$ 叫做向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 上的投影向量。
• 两个向量之间的夹角可用 $\theta=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle$ 表示，注意两个向量此时必须共顶点。

定理及二级结论

• 平面向量基本定理：若 $\mathbf{e_1,e_2}$ 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量 $\mathbf{a}$，有且只有一对实数 $\lambda _1,\lambda _2$，使得 $\mathbf{a}=\lambda _1\mathbf{e_1}+\lambda _2\mathbf{e_2}$。
  若 $\mathbf{e_1,e_2}$ 不共线，我们把 $\set{\mathbf{e_1,e_2}}$ 叫做这一平面内所有向量的一个 基底；任一向量都可以由同一个基底唯一表示。
• 定比分点公式：已知点 $D$ 为线段 $BC$ 靠近点 $B$ 的第 $k$ 个 $n$ 等分点 $\implies \overrightarrow{AD}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AC}+\frac{n-k}{n}\overrightarrow{AB}$，其中 $A$ 为平面内任取的一点。
  已知 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),P(x,y)$，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$，则 $x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}$。
• $||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||\leq|\mathbf{a}\pm\mathbf{b}|\leq|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$，应用不等式时，必须验证 等号成立的条件。
• $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\implies$ 正三角形 $\ \ \ \ \ \ \ \ \text{}$ $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\implies$ 矩形
  $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\implies$ 菱形 $\ \ \ \ \ \ \ \ \text{}$ $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\implies$ 正方形
• 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=2R=D$，其中 $R$ 为三角形外接圆半径。
  变形：要证 $(a+b)(\sin A-\sin B)=(c-b)\sin C$，可转化为 $(a+b)(a-b)=(c-b)c\implies b^2+c^2-a^2=bc\implies\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$。
  注意 $\sin C=\sin(\pi-(A+B))=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。
• 余弦定理：$\begin{cases} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \end{cases}\implies\begin{cases} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac} \\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{cases}$
• 正切定理：$\displaystyle\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\frac{a+b}{2}}{\tan\frac{a-b}{2}}$
• 任意三角形射影定理（ 将 $\cos$ 展开即可证明 ）：$\begin{cases} a=b\cos C+c\cos B \\ b=a\cos C+c\cos A \\ c=a\cos B+b\cos A \end{cases}$
• 极化恒等式：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2})^2-(\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}}{2})^2$
  对于平行四边形 $ABCD$，满足 $AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2),\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{BD}^2)$。
  对于三角形 $ABC$，$M$ 为 $BC$ 中点，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AM}^2-\overrightarrow{BM}^2$。
• 对任意四边形 $ABCD$，若两对角线相垂直，则 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|$。
• 中线长定理：对于三角形 $ABC$，$AD$ 为 $BC$ 边上的中线，则有 $AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2$。
• 张角定理：$\Delta ABC,D$ 在 $BC$ 上，令 $\angle BAD=\alpha,\angle CAD=\beta$，则有 $\frac{\sin\alpha}{AC}+\frac{\sin\beta}{AB}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{AD}$。
• 奔驰定理：点 $O$ 是 $\Delta ABC$ 所在平面内不与 $A,B,C$ 重合的一点，若 $x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\mathbf{0},xyz\neq 0$，则 $S_{\Delta OBC}\overrightarrow{OA}+S_{\Delta OAC}\overrightarrow{OB}+S_{\Delta OAB}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0}$，且 $S_{\Delta OBC}:S_{\Delta OAC}:S_{\Delta OAB}=x:y:z$。
  证明：$x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} \implies \frac{x}{y}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac{z}{y}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0}$。
  将 $OA$ 延长到 $OE$ 满足 $OE=\frac{x}{y}OA$，$OC$ 延长到 $OF$ 满足 $OF=\frac{z}{y}OC$，变为 $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}=\mathbf{0}$。
  $O$ 为 $\Delta EBF$ 重心，于是有 $S_{\Delta OBE}=S_{\Delta OEF}=S_{\Delta OBF}$，$\frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta EOF}}=\frac{\frac{1}{2}OA\cdot OC\cdot \sin\angle AOC}{\frac{1}{2}OE\cdot OF\cdot\sin\angle EOF}=\frac{y}{x}\cdot\frac{y}{z}=\frac{y^2}{xz}$。
  同理根据相似 $S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}:S_{\Delta BOC}=\frac{y^2}{xz}:\frac{yz}{xz}:\frac{xy}{xz}=y:z:x$。

平面向量的坐标表示

• 在平面直角坐标系中，设与 $x$ 轴，$y$ 轴方向相同的两个单位向量分别为 $\mathbf{i},\mathbf{j}$，取 $\set{\mathbf{i},\mathbf{j}}$ 作为基底，对于平面内任意一个向量 $\mathbf{a}$，有且只有一对实数 $x,y$，使得 $\mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j},(x,y)$ 就是 $\mathbf{a}$ 的坐标，记作 $\mathbf{a}=(x,y)$。
  显然，$\mathbf{i}=(1,0),\mathbf{j}=(0,1),\mathbf{0}=(0,0)$，$\overrightarrow{OA}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j} \Longleftrightarrow A$ 的坐标 $(x,y)$。
  若表示向量 $\mathbf{a}$ 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则 $\mathbf{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。
• 若 $\mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，则有 $\mathbf{a}\pm\mathbf{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2),\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2$。
  $\lambda\mathbf{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1),|\mathbf{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。
  向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 共线 $\Longleftrightarrow x_1y_2=x_2y_1$；向量 $\mathbf{a}\perp\mathbf{b} \Longleftrightarrow x_1y_2=x_2y_1$。
  $\theta=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle\implies\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\implies$ 柯西不等式的二元形式。

笛卡尔斜坐标系

• 数量积：$(x_1',y_1')\cdot(x_2',y_2')=x_1x_2+y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)\cos\theta$
• 模长：$\mathbf{a}=(x',y'),|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2+2xy\cos\theta}$
• 夹角：$\mathbf{a}=(x_1',y_1'),\mathbf{b}=(x_2',y_2'),\cos\gamma=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

三角形

三角形四心