第一章：微分几何基础

1.1 可微流形 (Differentiable Manifolds)

定义 1.1.1：拓扑流形 (Topological Manifold)

1. Hausdorff 性 (分离公理)：对于任意不同两点 $p, q \in \mathcal{M}$，存在不相交的开集 $O_p, O_q$ 分别包含 $p$ 和 $q$。
   • CS 类比：保证了点的“可区分性”。如果没有这条，可能会出现两个无法通过逼近算法区分的“重叠点”。
2. 第二可数性 (Second Countable)：存在可数的拓扑基。
   • CS 类比：保证了流形不会过大/过于离散，确保了分割（Partition of Unity）的存在，这是定义积分和度量的基础。
3. 局部欧氏性 (Locally Euclidean)：对于 $\forall p \in \mathcal{M}$，存在一个邻域 $U \ni p$ 和一个同胚映射（连续且逆连续的双射） $\phi: U \to \hat{U} \subseteq \mathbb{R}^n$，其中 $\hat{U}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集。

定义 1.1.2：坐标卡 (Coordinate Chart)

• 坐标映射：$\phi(p) = (x^1, x^2, ..., x^n) \in \mathbb{R}^n$。这被称为点 $p$ 在该坐标卡下的局部坐标。
• 参数化映射：逆映射 $\phi^{-1}: \hat{U} \to U$ 将 $\mathbb{R}^n$ 中的数据“还原”回流形上的点。

定义 1.1.3：光滑图集与微分结构 (Smooth Atlas & Differential Structure)

$$\psi_{\beta\alpha} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1} : \quad \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$$

• 若 $\mathcal{A}$ 中所有的转换函数 $\psi_{\beta\alpha}$ 都是 $C^\infty$ (无穷阶可微) 的，则称 $\mathcal{A}$ 为光滑图集。
• 装备了最大光滑图集的拓扑流形称为光滑流形 (Smooth Manifold)。

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1.1.4 构建圆 ($S^1$) 的微分结构

步骤 1：构造坐标卡 $1$ (北极投影)

步骤 2：构造坐标卡 $2$ (南极投影)

步骤 3：分析重叠区域与转换函数

1. 输入 $u$。
2. 通过 $\phi_N^{-1}$ 还原为流形上的点 $(x, y)$。
3. 将 $(x, y)$ 喂给 $\phi_S$ 得到 $v$。

$$v = \phi_S \left( \frac{2u}{u^2+1}, \frac{u^2-1}{u^2+1} \right) = \frac{x}{1+y}$$ $$v = \frac{ \frac{2u}{u^2+1} }{ 1 + \frac{u^2-1}{u^2+1} } = \frac{ \frac{2u}{u^2+1} }{ \frac{u^2+1 + u^2-1}{u^2+1} } = \frac{2u}{2u^2} = \frac{1}{u}$$ $$\psi_{SN}(u) = \frac{1}{u}$$

步骤 4：验证微分结构 (Compatibility Check)

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值得一提 在数值计算或几何处理中，如果试图用单一的 double theta ($0 \le \theta < 2\pi$) 变量来模拟圆环上的物理场，会遇到著名的 "Hairy Ball Theorem" (毛球定理) 或类似的拓扑障碍带来的数值不稳定：

1. 奇点：在 $\theta = 0$ 处进行插值或求导时，需要特殊的 if 逻辑处理周期性边界条件。
2. 流形视角：使用图集（Atlas）的方法则是真正通用的。您存储两个 patch 的数据（$u$ 和 $v$），当物体运动到北极附近时（$u \to \infty$），程序逻辑自动检测并使用 Transition Map 切换到南极坐标系（$v \approx 0$），从而避免数值溢出（Overflow）和精度丢失。 * 这就是流形在“计算”中的本质：没有全局最优坐标系，只有通过协议（转换函数）互联的局部坐标系。

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1.2 切空间与切矢量 (Tangent Space & Vectors)

1.2.1 作为导数算子的切矢量

1. 线性性 (Linearity)： $v(af + bg) = a v(f) + b v(g), \quad \forall f, g \in C^\infty(p), \forall a, b \in \mathbb{R}$
2. 莱布尼茨律 (Leibniz Rule / Product Rule)： $v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$

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1.2.2 切空间的基底与分量

值得一提：

• $v$ (对象) = $v^\mu$ (数据) $\cdot$ $\partial_\mu$ (接口/方法)。
• 当我们说“求矢量 $v$ 作用于函数 $f$”时，运算过程是：$v(f) = (v^\mu \partial_\mu) f = v^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu}$。

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1.2.3 与路径切线的联系

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1.2.4 切空间与切矢量例题

例题 1：算子操作与求值

$$\begin{aligned} v(f) &= \left( 3 \frac{\partial}{\partial x} - 1 \frac{\partial}{\partial y} \right) (x^2 y + \sin(x)) \Bigg|_{(0,2)} \\ &= 3 \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + \sin(x)) \Bigg|_{(0,2)} - \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + \sin(x)) \Bigg|_{(0,2)} \\ &= 3 (2xy + \cos(x)) \Bigg|_{(0,2)} - (x^2) \Bigg|_{(0,2)} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} &= 3 (2 \cdot 0 \cdot 2 + \cos(0)) - (0^2) \\ &= 3 (0 + 1) - 0 \\ &= 3 \end{aligned}$$

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例题 2：坐标变换法则 (基变换)

1. 将极坐标基矢量 $\partial_r$ 和 $\partial_\theta$ 用笛卡尔基矢量 $\partial_x, \partial_y$ 表示。
2. 验证变换矩阵（Jacobian）的作用。

• $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta$
• $\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta$

• $\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$
• $\frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$

$$\begin{aligned} \partial_r &= \cos\theta \, \partial_x + \sin\theta \, \partial_y \\ \partial_\theta &= -r\sin\theta \, \partial_x + r\cos\theta \, \partial_y \end{aligned}$$

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1.3 爱因斯坦求和约定 (Einstein Summation Convention)

1.3.1 核心定义与规则

1. 哑指标 (Dummy Index)：
   • 特征：在单项式中出现两次，且必须是一上一下。
   • 语义：表示对该指标进行遍历求和。
   • 性质：可以用任意其他未占用的字母替换（如 $\mu \to \sigma$），不改变表达式的值（相当于局部变量重命名）。
2. 自由指标 (Free Index)：
   • 特征：在单项式中仅出现一次（通常）。
   • 语义：代表方程对该维度的每一个分量都成立。
   • 性质：在方程的所有项（左边和右边）中，自由指标必须名称相同、位置（上下）相同。

算法视角

• 自由指标 $\leftrightarrow$ 外层循环 / 数组索引
• 哑指标 $\leftrightarrow$ 内层循环 / 局部迭代变量

表达式 $y^\mu = M^\mu_\nu x^\nu$ 等价于以下代码逻辑：

PYTHON

# n = 4 (Space-time dimensions)
y = [0.0] * 4  # Initialize output array

# Free index mu appears once on LHS, once on RHS -> Outer Loop
for mu in range(4):
    sum_val = 0.0
    # Dummy index nu appears twice (up/down) on RHS -> Inner Summation
    for nu in range(4):
        sum_val += M[mu][nu] * x[nu]
    y[mu] = sum_val

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1.3.2 基础例题：线性代数操作

1. 向量内积 $s = u \cdot v$（注：需通过度规定义，暂假设欧氏空间或对偶配对）。
2. 矩阵-向量乘法 $w = Av$。
3. 矩阵-矩阵乘法 $C = AB$。
4. 矩阵的迹 (Trace) $t = \text{tr}(A)$。

1. 内积：即行向量乘列向量。 $s = u_\mu v^\mu$ 这里 $\mu$ 是哑指标，结果 $s$ 没有自由指标，是一个标量（0阶张量）。
2. 矩阵-向量乘法： $w^\mu = A^\mu_\nu v^\nu$
   • $\nu$ 是哑指标（求和），消去。
   • $\mu$ 是自由指标，保留。左边是矢量分量 $w^\mu$，右边缩并后也是矢量分量，类型匹配。
3. 矩阵乘法： $C^\mu_\rho = A^\mu_\nu B^\nu_\rho$
   • $\nu$ 它是中间连接的桥梁（求和），即 $C_{ik} = \sum_j A_{ij} B_{jk}$。
   • $\mu$（上）和 $\rho$（下）是自由指标。
4. 迹：对角元之和。即令上标等于下标。 $t = A^\mu_\mu$
   • $\mu$ 既在上也在下，触发求和：$A^0_0 + A^1_1 + \dots$。

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1.3.3 进阶例题：多重求和与指标代换

• $\alpha$：出现两次（$\omega_\alpha$ 和 $A^\alpha_\dots$），是一对哑指标 $\rightarrow$ 第一重循环。
• $\beta$：出现两次（$A^\dots_\beta$ 和 $x^\beta$），是一对哑指标 $\rightarrow$ 第二重循环。
• 此式包含双重求和：$z = \sum_\alpha \sum_\beta \omega_\alpha A^\alpha_\beta x^\beta$。

陷阱提示（Variable Shadowing）： 如果你有两个方程 $a^\mu = B^\mu_\nu b^\nu$ 和 $c^\mu = D^\mu_\nu d^\nu$，想要相乘。 错误写法：$a^\mu c^\mu = B^\mu_\nu b^\nu D^\mu_\nu d^\nu$

• 错误 1：$\mu$ 在左边出现两次（同为上标），非法。
• 错误 2：$\nu$ 在右边出现四次，语义不清。

正确写法（重命名哑指标）： $a^\mu c^\rho = (B^\mu_\nu b^\nu) (D^\rho_\sigma d^\sigma) = B^\mu_\nu D^\rho_\sigma b^\nu d^\sigma$

• 在合并两个表达式时，必须确保各自的哑指标不冲突（就像在编程中不能在嵌套循环中使用相同的迭代变量名 i）。

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1.3.4 合法性判断

1. $T^{\mu\nu} v_\nu = S^\mu_\nu v^\nu$
2. $a = T^{\mu\mu}$
3. $b_\mu = T^{\mu\nu} v_\mu v_\nu$
4. $R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi G T_{\mu\nu}$ (爱因斯坦场方程)

1. 非法。
   • 左边 (LHS)：$T^{\mu\nu} v_\nu$。$\nu$ 缩并，自由指标是 $\mu$（上）。合法。
   • 右边 (RHS)：$S^\mu_\nu v^\nu$。$\nu$ 缩并，自由指标是 $\mu$（上）。合法。
   • 左右对比：看起来自由指标都是 $\mu$。但是，仔细观察左边的求和项：$T^{\mu\nu} v_\nu$ 中，$\nu$ 一上一下。然而公式中的写法，在通常的几何意义下要求很严，但如果你指的是 $v_\nu$ 是协变矢量，这是合法的。
   • 修正思考：如果是 $T^{\mu\nu} v^\nu$，则两个上标无法缩并（除非有度规参与）。如果是 $v_\nu$（已降标），则 $T^{\mu\nu} v_\nu \to w^\mu$。
   • 结论：语法上合法。LHS 和 RHS 都是含有一个上标自由指标 $\mu$ 的矢量。
2. 非法。
   • $T^{\mu\mu}$ 中 $\mu$ 出现了两次，但都在上标位置。
   • 爱因斯坦求和必须是一上一下。如果想表达对角线求和，必须引入度规：$g_{\mu\nu} T^{\mu\nu}$。单纯的 $T^{\mu\mu}$ 在不指定坐标系的情况下没有几何意义（不具备协变性）。
3. 非法。
   • 观察指标 $\mu$：
     • $T^{\mu\nu}$ (上)
     • $b_\mu$ (下)
     • $v_\mu$ (下)
   • $\mu$ 在方程中出现了三次（左1，右2）。这违反了“每个指标在一项中最多出现两次”的规则。
   • 更深层错误：右边的 $T^{\mu\dots}$ (上) 和 $v_\mu$ (下) 看起来可以缩并，但如果缩并了，$\mu$ 就变成了哑指标（消失），但左边 $b_\mu$ 却还保留着 $\mu$ 作为自由指标。逻辑矛盾。
4. 合法。
   • 这是张量分析中最标准的方程。
   • 自由指标：$\mu, \nu$ (均为下标)。
   • 第一项 $R_{\mu\nu}$：自由指标 $\mu, \nu$。
   • 第二项 $\frac{1}{2} g_{\mu\nu} R$：$R$ 是标量（已完全缩并），$g_{\mu\nu}$ 提供自由指标 $\mu, \nu$。
   • 第三项 $T_{\mu\nu}$：自由指标 $\mu, \nu$。
   • 每一项的自由指标结构完全一致。

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1.4 对偶空间与余切矢量 (Dual Space & Cotangent Vectors)

1.4.1 几何直观：箭头 vs. 等高线

• 切矢量 (Tangent Vector, $v \in T_p\mathcal{M}$)：
  • 几何形象：一个小箭头。
  • 物理意义：速度、位移、流量。
  • 类比：实例。它是有“大小”和“方向”的实体。
• 余切矢量 (Cotangent Vector / One-form, $\omega \in T_p^*\mathcal{M}$)：
  • 几何形象：一组成层排列的平行面（类似于地图上的等高线）。
  • 物理意义：密度、梯度、动量。
  • 类比：方法/查询。它的作用是“吃掉”一个矢量，吐出一个实数（测量值）。

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1.4.2 形式化定义：线性泛函

为什么记作 $dx$？ 在微积分中，$dx$ 是一个无穷小量。但在流形几何中，$dx^\mu$ 被严格定义为坐标函数 $x^\mu$ 的梯度（即 $dx^\mu$ 是一个“提取第 $\mu$ 个分量”的机器）。

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1.4.3 核心原型：梯度 (The Gradient)

值得一提： 想求一个函数的梯度，本质上是求它相对于坐标网格变化率的线性组合。这是一个行向量操作，因为它等待与一个列向量（变化方向）相乘来产生标量（变化量）。

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1.4.4 坐标变换法则 (Transformation Laws)

1. 切矢量 (Contravariant / 上标)： 矢量 $v = v^\mu \partial_\mu$ 是客观存在的几何对象，其本体不变。当基底变换时，分量必须反向补偿。 $v'^{\mu'} = \frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^\nu} v^\nu$ （分量随坐标“分子”变换）
2. 余切矢量 (Covariant / 下标)： 由链式法则 $\frac{\partial f}{\partial x'^{\mu'}} = \frac{\partial f}{\partial x^\nu} \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}}$ 可知： $\omega'_{\mu'} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}} \omega_\nu$ （分量随坐标“分母”变换，即逆雅可比矩阵）

口诀：

• 上标（矢量）：用顺向导数（新对旧 $x'/x$）。
• 下标（余切）：用逆向导数（旧对新 $x/x'$）。

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1.4.5 例题讲解

例题 1：欧氏空间与极坐标变换

1. 直角坐标 $x^\mu = (x, y)$。有一常数余切矢量 $\omega = 3dx + 4dy$，即分量 $\omega_\mu = (3, 4)$。
2. 极坐标 $x'^{\mu'} = (r, \theta)$，其中 $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$。 问题：求 $\omega$ 在极坐标系下的分量 $\omega'_{\mu'} = (\omega_r, \omega_\theta)$。

• $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$
• $\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$

• $\omega_r = \frac{\partial x}{\partial r}\omega_x + \frac{\partial y}{\partial r}\omega_y = (\cos\theta) \cdot 3 + (\sin\theta) \cdot 4 = 3\cos\theta + 4\sin\theta$
• $\omega_\theta = \frac{\partial x}{\partial \theta}\omega_x + \frac{\partial y}{\partial \theta}\omega_y = (-r\sin\theta) \cdot 3 + (r\cos\theta) \cdot 4 = r(4\cos\theta - 3\sin\theta)$

注意 $\omega_\theta$ 的量纲带有一个长度 $r$。这说明余切矢量的分量物理量纲与矢量相反（为了乘积是标量）。在代码中，如果你直接把 $(3,4)$ 赋给 $(r, \theta)$ 分量是类型错误的。

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例题 2：标量的不变性验证 (Invariant Check)

1. 余切矢量展开：$\omega'_{\mu'} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}} \omega_\nu$
2. 切矢量展开：$v'^{\mu'} = \frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^\sigma} v^\sigma$

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例题 3：从度规推导对偶矢量

• $u_0 = g_{00} u^0 + g_{01} u^1 + \dots = (-1)(\gamma) + 0 = -\gamma$
• $u_1 = g_{10} u^0 + g_{11} u^1 + \dots = 0 + (1)(\gamma v) = \gamma v$
• $u_2 = 1 \cdot 0 = 0$
• $u_3 = 1 \cdot 0 = 0$

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1.5 通用张量 (General Tensors)

1.5.1 定义：多重线性映射

• $k$ 称为逆变秩 (Contravariant Rank)：对应的分量指标在上。
• $l$ 称为协变秩 (Covariant Rank)：对应的分量指标在下。
• 线性性：对任意参数位置，满足 $T(\dots, a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \dots) = aT(\dots, \mathbf{u}, \dots) + bT(\dots, \mathbf{v}, \dots)$。

类比：函数签名 一个 $(1, 1)$ 张量可以看作一个函数，其强类型签名为： double tensor_mapping(CotangentVector omega, TangentVector v)

• 输入：需要 $k$ 个行向量（用来与上指标缩并）和 $l$ 个列向量（用来与下指标缩并）。
• 输出：当你把所有“槽位（Slots）”填满后，它返回一个不变量（标量）。

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1.5.2 张量积与分量表示

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1.5.3 坐标变换法则 (The Supreme Law)

规则总结：

1. 每个上指标（逆变）“携带”一个 $\frac{\partial x'}{\partial x}$ （分子是新坐标）。
2. 每个下指标（协变）“携带”一个 $\frac{\partial x}{\partial x'}$ （分母是新坐标）。
3. 所有旧指标 ($\rho, \sigma$) 都是哑指标，进行求和。

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1.5.4 关键操作：缩并 (Contraction)

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1.5.5 例题讲解

例题 1：类型推断与对象识别

1. 度规张量 $g_{\mu\nu}$
2. 逆度规 $g^{\mu\nu}$
3. 克里斯托费尔符号 $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$
4. 里奇曲率张量 $R_{\mu\nu}$
5. 黎曼曲率张量 $R^\rho_{\sigma\mu\nu}$

1. $(0, 2)$ 张量。它接受两个矢量 $u, v$，输出内积 $g(u,v) \in \mathbb{R}$。
2. $(2, 0)$ 张量。它本质上是两个余切矢量的内积映射。
3. 不是张量。$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ 在坐标变换时包含二阶导数项 $\frac{\partial^2 x}{\partial x'^2}$，破坏了线性变换规律（它是仿射联络系数，而非张量）。
4. $(0, 2)$ 张量。是 $(1,3)$ 黎曼张量的缩并结果（缩并了一个上标和一个下标，秩减2）。
5. $(1, 3)$ 张量。虽然它有4个指标，但标准定义是接受1个 1-form 和 3个矢量。

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例题 2：张量积与运算逻辑

1. 写出 $T$ 的分量矩阵 $T^\mu_\nu$。
2. 计算 $T$ 对矢量 $v^\nu = (2, 1)$ 的作用结果。

1. 计算分量： 根据张量积定义：$T^\mu_\nu = u^\mu \omega_\nu$。
   $$T = \begin{pmatrix} u^0 \\ u^1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 & 1\cdot 3 \\ 0\cdot 1 & 0\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
   注意：在习惯上，第一个指标 $\mu$ (Row) 代表行索引，第二个指标 $\nu$ (Col) 代表列索引。
2. 作用于矢量 $v$： 这是张量缩并 $w^\mu = T^\mu_\nu v^\nu$（矩阵乘法）：
   $$w = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 \\ 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}$$
   验证：$T(v) = (u \otimes \omega)(v) = u \cdot [\omega(v)] = u \cdot [\omega_\nu v^\nu] = u \cdot (1\cdot 2 + 3\cdot 1) = 5u = (5, 0)$。结果一致。

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例题 3：商定理 (Quotient Theorem) 的应用

1. 根据题意：$X'^{\alpha\beta} a'_\alpha b'_\beta = X^{\mu\nu} a_\mu b_\nu$ (标量不变)。
2. 我们将 $a', b'$ 变换回旧坐标系： $a_\mu = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} a'_\alpha$ $b_\nu = \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} b'_\beta$
3. 代入 RHS： $X'^{\alpha\beta} a'_\alpha b'_\beta = X^{\mu\nu} \left( \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} a'_\alpha \right) \left( \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} b'_\beta \right)$
4. 整理项： $\left( X'^{\alpha\beta} - \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} X^{\mu\nu} \right) a'_\alpha b'_\beta = 0$
5. 由于 $a', b'$ 是任意矢量，若要上式恒成立，括号内的部分必须为 0（线性代数基本性质）。
6. 因此：$X'^{\alpha\beta} = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} X^{\mu\nu}$。 这正是 $(2, 0)$ 张量的变换法则。得证。

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1.6 度规张量 (The Metric Tensor)

1.6.1 定义：广义内积

1. 对称性 (Symmetry)： $g(u, v) = g(v, u) \iff g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$ 这保证了 $A$ 到 $B$ 的“距离”等于 $B$ 到 $A$ 的距离。
2. 非退化性 (Non-degeneracy)： 若对于所有的 $v$，都有 $g(u, v) = 0$，则必须有 $u=0$。 这等价于度规矩阵的行列式不为零：$\det(g_{\mu\nu}) \neq 0$。

1.6.2 线元 (The Line Element)

二次型视角 $ds^2$ 只是一个二次型符号。 $g_{\mu\nu}$ 是一个存储几何权重的 $4 \times 4$ 对称矩阵。$dx^\mu$ 是输入的差分向量。 $\text{Cost} = [dx^0, \dots, dx^3] \times [G] \times [dx^0, \dots, dx^3]^T$

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1.6.3 符号差与因果结构 (The Signature & Causality)

1. 黎曼度规 (Euclidean/Riemannian)：
   • 签名：$(+, +, +, +)$
   • 性质：$ds^2 = 0 \iff dx = 0$。即只要动了，距离就是正的。
   • 用途：普通几何空间。
2. 洛伦兹度规 (Lorentzian) —— 广义相对论使用此定义
   • 签名：$(-, +, +, +)$ 或 $(+, -, -, -)$（文献中称为 "East Coast" 或 "West Coast" 惯例，本文采用 $-+++$）。
   • 关键性质：即使 $dx \neq 0$，也可以有 $ds^2 = 0$。
   • 因果分类：对于切矢量 $v$，
     • $g(v, v) < 0$：类时 (Timelike)，有质量粒子的轨迹。
     • $g(v, v) = 0$：类光 (Null/Lightlike)，光子的轨迹。
     • $g(v, v) > 0$：类空 (Spacelike)，超光速区域（因果上不可达）。

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1.6.4 音乐同构：升降指标 (Musical Isomorphisms)

值得一提： 在欧氏空间（笛卡尔坐标），$g = I$（单位阵），所以 $v^\mu$ 和 $v_\mu$ 数值相同。 但在弯曲时空或闵可夫斯基时空中，分量的数值甚至符号都会改变！混淆上下标会导致致命的物理错误。

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1.6.5 例题讲解

例题 1：从线元读取度规分量

1. 写出对应的坐标系 $\{x^\mu\}$。
2. 写出度规张量 $g_{\mu\nu}$ 的矩阵形式。
3. 写出逆度规张量 $g^{\mu\nu}$ 的矩阵形式。

1. 坐标系 $x^1 = r, x^2 = \theta, x^3 = \phi$。
2. 观察 $ds^2 = g_{11}(dr)^2 + g_{22}(d\theta)^2 + g_{33}(d\phi)^2$。由于没有交叉项（如 $dr d\theta$），非对角元为 0。 $$[g_{\mu\nu}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}$$
3. 由于矩阵是对角阵，其逆矩阵就是对角线元素取倒数： $$[g^{\mu\nu}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{-2} & 0 \\ 0 & (r \sin\theta)^{-2} \end{pmatrix}$$ 检验：$g^{\mu\nu} g_{\nu\lambda} = \delta^\mu_\lambda$。例如 $\mu=2, \lambda=2$: $r^{-2} \cdot r^2 = 1$。

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例题 2：指标升降与符号陷阱

1. 计算协变矢量 $P_\mu$。
2. 计算模长平方 $P^2 = P^\mu P_\mu$。
3. 对于光子 ($m=0$)，这意味着什么？

1. 降指： $P_0 = g_{00} P^0 = (-1) \cdot E = -E$ $P_1 = g_{11} P^1 = (1) \cdot p_x = p_x$ ... 所以：$P_\mu = (-E, p_x, p_y, p_z)$ 注意时间分量反号了！
2. 计算模长： $P^2 = P^\mu P_\mu = P^0 P_0 + P^i P_i = E(-E) + (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) = -E^2 + |\vec{p}|^2$
3. 物理诠释： 在相对论力学中，$P^2 = -m^2$（静质量平方的负数，取决于定义）。 对于光子，$m=0$。所以 $P^2 = 0$。 这意味着 $-E^2 + |\vec{p}|^2 = 0 \implies E = |\vec{p}|$。 几何结论：光子的动量矢量在四维时空中是非零矢量，但其“长度”（自内积）为零。这是一个零矢量 (Null Vector)。

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例题 3：非对角度规与混合索引

1. 写出矩阵 $g_{\mu\nu}$。
2. 计算行列式 $\det(g)$，检查其是否退化。
3. 求逆度规 $g^{\mu\nu}$ 中的 $g^{tt}$ 分量。

1. 识别分量：
   • $dt^2$ 系数 $-1 \implies g_{tt} = -1$。
   • $dr^2$ 系数 $1 \implies g_{rr} = 1$。
   • $dt d\phi$ 系数 $2$。注意公式是 $\sum g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$，对于交叉项 $dt d\phi$，由于对称性 $g_{t\phi} = g_{\phi t}$，这一项会出现两次。所以 $2 g_{t\phi} = 2 \implies g_{t\phi} = 1$。（注意系数除以2的规则！）
   • $d\phi^2$ 系数 $0 \implies g_{\phi\phi} = 0$。
   矩阵形式（顺序 $t, \phi, r$）：
   $$g = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
2. 计算行列式： 这是块对角矩阵。右上角是 $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，右下角是 $1$。 $\det(g) = [(-1)(0) - (1)(1)] \times 1 = -1 \neq 0$ 度规非退化，是个合法的洛伦兹度规。
3. 求逆度规： 需要求该矩阵的逆。重点关注左上 $2\times 2$ 块 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 即：
   $$g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
   结果分析：虽然 $g_{tt} = -1$，但逆矩阵分量 $g^{tt} = 0$！这再次强调了 $g^{\mu\nu}$ 不是简单地对 $g_{\mu\nu}$ 每个元素取倒数，而是矩阵求逆的操作。