双射是什么，和我的 Kernel Method 说去吧

首先我们对整个平面做线性变换：$(x,y) \to (x,x-y)$。这样就变成了从 $(0,0)$ 移动到 $(n,0)$ 且不越过 $y=0$ 这条线，方便我们描述一些。

现在就有一个简单的 DP，给定 $f_0(z)=1$，以及递推式 $f_k(z)=\frac{1}{1-z}\sum_{i=0}^k a_i (f_{k-i}(1)-z^i f_{k-i}(z))$

（含义：如果 $x$ 选择走 $a_i$ 长度，那么第二维可以走到 $y+a_i-1$ 以内的任意自然数）

尝试求出 $f_n(0)$。建立二元 GF 就有方程

由此也能得到

而我们知道 $[z^{n+1}]F(z,t)\equiv 0 \pmod{t^{n+1}}$（没法走到这么高），根据这一点可以解出 $F(1,t)$。设

则

那么问题就变为如何快速计算 $g_k(t)$ 了...吗？直接计算 $g_k(t)$ 可能比较困难，如果能直接计算两项之比就好了。大家一定知道 Fibonacci 数相邻两项之比的极限吧：

它等于 $f_n$ 递推式中，模长最大的特征根的倒数。显然 $g_n(t)/g_{n+1}(t)$ 的极限也是存在的，我们尝试用类似的方法处理。显然我们先验地知道这个极限的常数项为 $1$，且不存在负次项，这将给后续推导提供重要帮助。

考虑到特征方程 $z^n(1-z^{-1}+A(t/z))$ 有多达 $n$ 个根难以处理，但既然 $g_n(t)/g_{n+1}(t)$ 的极限已经确定了最低非零项，那么我们只需要找出特征方程中也满足相同性质的那个根即可。

也就是说，我们要找一个形式幂级数 $F(t)$，满足 $F(0)=1$，且

（很幸运，满足条件的 $F(t)$ 是唯一的）

那么答案即为 $[t^n]1/F(t)$。
稍微化简一下，设 $G(t)=1/F(t)$，则方程变为

所求的答案也变为 $[t^{n+1}] tG(t)$。令 $H(t)$ 为 $tG(t)$ 的复合逆，则 $H(t)=t-H(t)A(t)$，答案也就是

完全胜利！