数学笔记全文

修订

立体几何

弧度制与面积计算

• $360\degree=2\pi\ \text{rad},\ 180\degree=\pi\ \text{rad}$
• $1\degree=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}\approx0.01745\ \text{rad},1\ \text{rad}=(\frac{180}{\pi})\degree\approx 57.29578\degree$
• $x\degree=\frac{x\pi}{180}\ \text{rad},x \ \text{rad}=(\frac{180x}{\pi})\degree$
• 圆心角大小（ 弧度 ） $|\alpha|=\frac{l}{r}\ \ \ \ \text{}$ 圆心角大小（ 角度 ） $n=\frac{180\cdot l}{r\pi}$
• 弧长 $l=\alpha r$，周长 $C=2r+l$，面积 $S=\frac{1}{2}\alpha r^2=\frac{1}{2}lr$

基本立体图形

• 共性：都具有顶点、底面、侧面、侧棱（ 相邻侧面的公共边 ）。
• 棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都相互平行。底面是 $n$ 边形就叫 $n$ 棱柱。斜高：侧面的高。
  侧棱垂直于底面的柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体。
  $\set{正方体}\in\set{正四棱柱}\in\set{长方体}\in\set{直四棱柱}$
• 棱锥：三棱锥又叫四面体（ 即由四个面组成的封闭图形只能是三棱锥 ），底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。
  正三棱锥 / 正四面体的三条对棱两两垂直。
• 棱台：棱锥上部通过平行于底面的面截取上部且上下底面平行。
• 圆柱 / 圆锥 / 圆台：旋转轴称为它的轴，平行于轴的边叫做它侧面的母线。
• 欧拉公式：$V-E+F=2$，即 顶点数 $-$ 棱数 $+$ 面数 $=2$。
  对于正 $n$ 面体（ $n$ 个等边三角形 ），面数为 $n$，棱数为 $\frac{3}{2}n$（ 每个面 $3$ 条棱，每条棱分属 $2$ 个面 ）。

立体图形的直观图

• 斜二测画法
  $\angle xOy=90\degree\xLeftrightarrow{x\ 轴不变}\angle x'Oy'=45\degree$ 或 $135\degree,\angle x'Oz'=\angle xOz=90\degree$，$\\$ 原来平行于 $x$ 轴 或 $z$ 轴 的线段，在直观图中保持原长度不变，原来平行于 $y$ 轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半。
• $S_{直}=\frac{\sqrt{2}}{4}S_{原},S_{原}=2\sqrt{2}S_{直}$

简单几何体的表面积和体积

• 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
• 画展开图类问题：绳绕棱锥 / 圆锥，先求出展开图圆心角的度数（ 大概率 $90\degree$ ）
  例 1：在正四棱锥 $O-ABCD$ 中，侧棱长均为 $4$，且相邻两条侧棱的夹角为 $30\degree$，$E,F$ 分别为线段 $OB,OC$ 上的一点，则 $AE+EF+FD$ 的最小值为 ？（ $4\sqrt{2}$ ）
  例 2：一个圆台的上、下底面半径分别为 $5,10$，母线 $AB=20$，从圆台母线 $AB$ 的中点 $M$ 拉一条绳子绕圆台侧面转到 $A$，求绳子的最短长度（ $50$ ）和上底面圆周上的点到绳子的最短距离（ $4$ ）。
• 射影问题：三棱锥 $P-ABC$ 中，$O$ 为 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影，则：

球与几何体的外接、内切问题

• 外接球：多面体 / 旋转体的顶点均在球面上，球心到各个顶点的距离相等，球心在旋转轴上。
  注意 球心可能在几何体外。
• 内切球：多面体 / 旋转体的各面均与球面相切，球心到各面的距离相等，球心在旋转轴上。
  利用等体积法求半径（ $V=\frac{1}{3}S_表 r$ ），再求每个面面积，最后 $\boxed{各个棱锥的体积之和 = 多面体体积}\implies$ 内切球半径。
  例 1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为 $2$，则三棱锥外接球半径 $R=\frac{\sqrt{2^2+2^2+2^2}}{2}=\sqrt{3}$。
  例 2：若三棱锥 $P-ABC$ 的三条侧棱两两垂直，$AB=\sqrt{5},BC=\sqrt{7},AC=2$，则此三棱锥的外接球的体积为 ？
  $2R=\sqrt{PA^2+PB^2+PC^2}=\sqrt{\frac{1}{2}(AC^2+AB^2+BC^2)}=2\sqrt{2},R=\sqrt{2},V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi$
• 球内接正三棱锥的体积最大值 $=$ 球内接正四面体的体积。
  球内接正四棱锥的体积最大值 $=$ 一个底面边长 $=$ 高的正四棱锥的体积。

• 若某一几何体的表面积为 $S$，体积为 $V$，内切球半径为 $r$，则满足 $V=\frac{1}{3}Sr$。
• 将四面体补形成长方体的条件（ 满足其中之一即可 ）：
  1. 有三条棱两两垂直。
  2. 四个面均是直角三角形。
  3. 正四面体 $P-ABC$ 可以补形成正方体且棱长 $a=\frac{PA}{\sqrt{2}}$。
  4. 三组对棱分别相等，长度记为 $x,y,z$，长方体边长记为 $a,b,c$，则 $\begin{cases} x=\sqrt{a^2+b^2} \\ y=\sqrt{b^2+c^2} \\ z=\sqrt{a^2+c^2} \end{cases}$

空间点、直线、平面之间的关系

• 平面的表示：用横向 / 竖向的平行四边形表示，书写方法：平面 $\alpha,\beta,\gamma\dots$ 或 平面 $ABCD$，平面 $AC,BD$。

四个基本事实与三个推论

• 基本事实
  1. 过不在 同一直线上 的三个点，有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面。
     一条直线与直线外一点也能确定一个平面。
     在同一平面内，$n$ 条直线最多把平面划分为 $1+\frac{n(n-1)}{2}$ 份；在空间内，$n$ 个平面最多把空间分为 $\frac{n^3+5n+6}{6}$ 份。
     相交于同一点的 $n$ 条直线最多可以确定 $\begin{cases}\frac{n(n-1)}{2}\ 个平面 & 任意\ 3\ 条不共面 \\ \frac{(n-3)(n-4)}{2}\ 个平面 & 有\ 3\ 条不共面 \end{cases}$
  2. 如果一条直线上的两个点在同一平面内，那么这条直线在这个平面内。即：
     直线 $l$ 在 $\alpha$ 内 $\xLeftrightarrow{}l\subset\alpha\ \ \ \ \text{}$ 直线 $l$ 不在 $\alpha$ 内 $\xLeftrightarrow{}l\not\subset\alpha$
     基本事实 2 用符号表示为：$A\in l,B\in l$ 且 $A\in\alpha,B\in\alpha\implies l\subset\alpha$
  3. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
     平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交于直线 $l$，记作 $\alpha\bigcap\beta=l$。
     基本事实 3 用符号表示为：$P\in\alpha$ 且 $P\in\beta\implies\alpha\bigcap\beta=l$ 且 $P\in l$
  4. 平行于同一条直线的两条直线平行。（ 平行线的传递性 ）
  注意表示 点 在 直线 / 平面 内用 $\in$，表示 直线 在 平面 内用 $\subset$。
• 推论（ 基本事实 1 + 2 + 两点确定一条直线 ）
  1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
  2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
  3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

空间点、直线、平面之间的位置关系

证明共面、共线、共点

1. 证明点、线共面：证明直线平行 / 相交；确定一个辅助平面；反证法。
2. 证明三点共线：先找 $2$ 个平面，证明这 $3$ 点都是 $2$ 个平面公共点 / 其中 $2$ 点确定 $1$ 条直线，证另一点也在直线上。
3. 证明三线共点：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点或交点在第三条直线上。

空间直线、平面的平行

1. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么两个角相等或互补。
2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
   用符号表示：$a\not\subset\alpha,b\subset\alpha,a//b\implies a//\alpha$
3. 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
   用符号表示：$a//\alpha,\alpha\bigcap\beta=b,a\subset\beta\implies a//b$
4. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
   用符号表示：$a\subset\beta,b\subset\beta,a\bigcap b=P,a//\alpha,b//\alpha\implies\alpha//\beta$
5. 平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
   用符号表示：$\alpha//\beta,\alpha\bigcap\gamma=a,\beta\bigcap\gamma=b\implies a//b$

空间直线、平面的垂直

• 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直。
  用符号表示：$m\subset\alpha,n\subset\alpha,m\bigcap n=P,l\perp m,l\perp n\implies l\perp\alpha$
• 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行。
• 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
  用符号表示：$a\subset\alpha,a\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$
• 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

空间直线、平面的平行

1. 三棱锥 $P-ABC$ 中，$D,E$ 分别是 $PB,BC$ 中点，点 $F$ 在线段 $AC$ 上，且满足 $AD //$ 平面 $PEF$，则 $\frac{AF}{FC}=\ ?$
   
   解析：连接 $CD$，交 $PE$ 于点 $G$，连接 $FG$，如图所示。
   
   $AD //$ 平面 $PEF$， 平面 $PEF\ \cap$ 平面 $ADC=FG\implies AD // FG$
   $D,E$ 分别是 $PB,BC$ 中点 $\implies G$ 是 $\Delta PBC$ 重心，$\frac{AF}{FC}=\frac{DG}{GC}=\frac{1}{2}$。

2. 长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1,AB=BC,E$ 是 $AB$ 上靠近 $B$ 的三等分点，$F$ 是 $A_1D_1$ 中点，$\\ O$ 为直线 $DB_1$ 与平面 $EFC$ 交点，$\frac{DO}{OB_1}=\ ?$
   
   解析：连接 $BD,B_1D_1,BD \cap CE=M$，$\\$ 设平面 $CEF$ 与平面 $A_1B_1C_1D_1$ 的交线交 $C_1D_1,B_1D_1,A_1B_1$ 分别于点 $P,N,Q$，如图所示。
   
   $CE // PQ \implies \angle PFD_1=\angle BCE \implies \mathrm{Rt}\Delta PFD_1 \backsim \mathrm{Rt}\Delta ECB,\frac{PD_1}{FD_1}=\frac{EB}{BC}=\frac{1}{3}$
   $QA_1=PD_1=\frac{1}{3}FD_1=\frac{1}{6}A_1B_1\implies\frac{B_1N}{ND_1}=\frac{B_1Q}{PD_1}=7$
   $\frac{DM}{MB}=\frac{DC}{EB}=3\implies DM=\frac{3}{4}BD\implies\frac{DO}{OB_1}=\frac{DM}{NB_1}=\frac{6}{7}$

3. 四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形，$E$ 是 $PD$ 上一点满足 $PE=3ED$，$\\$ 若 $\overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PC}$ 且 $BF//$ 平面 $AEC$，则 $\lambda=$ ？
   
   解析：连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$，连接 $OE$，在 $PD$ 上取一点 $G$ 使得 $GE=ED$。
   
   在 $\Delta BGD$ 中 $EO$ 为其中位线 $\implies BG//$ 平面 $AEC\implies$ 平面 $BFG\ //$ 平面 $AEC$。
   $\frac{PF}{FC}=\frac{PG}{GE}=2,\lambda=\frac{2}{3}$

4. 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AD=DD_1=1,AB=\sqrt{3},E,F,G$ 分别是 $AB,BC,C_1D_1$ 的中点，点 $P$ 在平面 $ABCD$ 内，若直线 $D_1P\ //$ 平面 $EFG$，则点 $D_1$ 与满足题意的点 $P$ 构成的平面截长方体所得的截面的面积为 ？
   
   解析：
   
   只需证明点 $D_1$ 与满足题意的点 $P$ 构成的平面 $D_1AC$ 平行于平面 $EFG$ 即可，答案即为 $S_{\Delta D_1AC}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

5. 如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$D$ 是 $B_1C_1$ 中点，$E$ 是 $A_1C_1$ 上一点满足 $A_1B//$ 平面 $B_1DE$，$\frac{A_1E}{EC_1}=\ ?$
   
   解析：连接 $BC_1$ 交 $B_1D$ 于 $F$，易证 $\Delta A_1BC_1 \backsim \Delta EFC_1,\frac{A_1E}{EC_1}=\frac{BF}{FC_1}=\frac{BD}{B_1C}=\frac{1}{2}$。
   

空间直线、平面的垂直

1. 如图，$P$ 是 $\Delta ABC$ 所在平面外一点，$PA\perp$ 平面 $ABC,\angle ABC=90\degree,AE\perp PB$ 于 $E,AF\perp PC$ 于 $F.\\$ 求证：$(1)\ BC\perp$ 平面 $PAB \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ AE\perp$ 平面 $PBC \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ PC\perp$ 平面 $AEF$
   
   解析：$(1)\ \angle ABC=90\degree\implies BC\perp AB\ \ \ \ \ \ \ PA\perp$ 平面 $ABC\implies BC\perp PA\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ BC\perp$ 平面 $PAB\implies AE\perp BC\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ AE\perp$ 平面 $PBC\implies PC\perp AE$

定理 & 二级结论

• 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面外的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
  逆定理：如果平面内一直线和这个平面外的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
• 空间第一余弦定理：如图，$AE\perp BC,DF\perp BC$，则二面角 $A-BC-D$ 的大小 $\theta$ 满足
  $\cos\theta=\frac{AE^2+EF^2+FD^2-AD^2}{2AE\cdot FD}$

• 空间第二余弦定理：空间中两直线 $AB,CD$ 的夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\frac{|AD^2+BC^2-AC^2-BD^2|}{2AB\cdot CD}$
  证明：$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|\cos\angle_{CAD}-|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|\cos\angle_{CAB}=AC\cdot AD\cdot \frac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC\cdot AD}-AC\cdot AB\cdot\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC\cdot AB}=\frac{AD^2+CB^2-AB^2-CD^2}{2}$
• 三面角公式求二面角：已知 $\angle_{APB}=\theta_1,\angle_{BPC}=\theta_2,\angle_{APC}=\theta_3$，则二面角 $A-PB-C$ 的余弦值为
  $\cos\theta=\frac{\cos\theta_3-\cos\theta_1\cos\theta_2}{\sin\theta_1\sin\theta_2}=\frac{\cos\angle_{APC}-\cos\angle_{APB}\cdot\cos\angle_{BPC} }{\sin\angle_{APB}\cdot\sin\angle_{BPC} }$
  注意三个角度在公式中分布特点，$\theta_3$ 是二面角 $A-PB-C$ 的对角，而 $\theta_1,\theta_2$ 就是二面角 $A-PB-C$ 的两个邻角

• 三正弦定理：二面角 $M-AB-N$ 的度数为 $\alpha$，平面 $M$ 上有一射线 $AC$ 与 $AB$ 所成角为 $\beta$，与平面 $N$ 所成角为 $\gamma$，则 $\sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta$。
• 三余弦定理 / 最小角定理：设 $A$ 为平面 $\alpha$ 上一点，过点 $A$ 的斜线 $AO$ 在平面 $\alpha$ 上的射影为 $AB$，$AC$ 为平面 $\alpha$ 内的一条直线，那么有 $\cos\angle OAC=\cos\angle BAC\times\cos\angle OAB$。

• 异面直线段 $AB=a,CD=b$，它们之间的距离为 $d$，夹角为 $\theta$，则 $V_{A-BCD}=\frac{1}{6}abd\sin\theta$。
• 面积余弦定理：$\Delta ABC$ 在平面 $\alpha$ 内的射影为 $\Delta ABO$，记 $\Delta ABC$ 所在平面与 $\alpha$ 所称的锐二面角为 $\theta$，则 $S_{\Delta ABO}=\cos\theta S_{\Delta ABC}$。

翻折问题

• 不在同一平面的两点路径问题的翻折只能以折点所在直线翻折。

• 注意分类讨论

1. 沿 $BB_1$ 展开，算得 $EF=\frac{\sqrt{22}}{2}$。
2. 沿 $A_1C_1$ 展开，算得 $EF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
3. 沿 $A_1B_1$ 展开，算得 $EF=\sqrt{\frac{7}{2}+\sqrt{2}}$。

截面问题

1. 求过圆锥顶点的截面面积最大值：记轴截面顶角为 $\theta$，$\sin\theta=\frac{r}{l}$ $\begin{cases}\theta>\frac{\pi}{2},S_{\max}=\frac{1}{2}l^2\sin\theta\implies\frac{1}{2}l^2 \\ \theta\leq\frac{\pi}{2},S_{\max}=\ 轴截面面积 \end{cases}$
2. 正方体棱长为 $1$，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所称角相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积最大值 ？

空间向量

• $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$ 且 $x+y+z=1,A,B,C$ 不共线，$O\not\subset$ 平面 $ABC\implies A,P,B,C$ 四点共面。

• 若 $\Delta ABC$ 重心为 $G$，$O$ 为 $\Delta ABC$ 平面外一点，则 $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$。
• 法向量：垂直于平面 $\alpha$ 的向量，有无数多个；怎么求：设法向量为 $(x,y,z)$，求出平面内两个向量的坐标表示，点乘列方程组求。
• 速求法向量：已知平面 $\alpha$ 上的两个向量 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则平面的一个法向量为 $(\begin{vmatrix}y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2\end{vmatrix})=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)$。
  相当于求向量叉乘。
• 对称问题
  $(a,b,c)$ 关于什么对称，什么就不变。

  原点 $O$	$x$ 轴	$y$ 轴	$z$ 轴	$Oxy$ 平面	$Oyz$ 平面	$Oxz$ 平面
  $(-a,-b,-c)$	$(a,-b,-c)$	$(-a,b,-c)$	$(-a,-b,c)$	$(a,b,-c)$	$(-a,b,c)$	$(a,-b,c)$

平面方程

• 过 $P(x_0,y_0,z_0)$ 且法向量 $\overrightarrow{m}=(A,B,C)$ 的平面方程为 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。
• 过 $P(x_0,y_0,z_0)$ 且方向向量 $\overrightarrow{n}=(u,v,w)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}\ (uvw\neq 0)$。

用空间向量研究距离、夹角问题

1. 点线距 —— 求点 $A$ 到直线 $BC$ 的距离。
   $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA},\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|},d=\sqrt{\overrightarrow{a}^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{u})^2}$
2. 点面距 / 线面距 / 面面距 —— 求点 $A$ 到平面 $BCD$ 的距离。
   1. 等体积法，$V_{A-BCD}=V_{B-ACD}=V_{C-ABD}=V_{D-ABC}$
   2. 求平面 $BCD$ 的法向量 $\overrightarrow{n},d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$
   3. $A(x_0,y_0,z_0)$，平面的解析式 $Ax+By+Cz+D=0,d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
3. 线线角 —— 求 $AB,CD$ 夹角 $\theta$
   1. 求出它们的方向向量 $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$，则 $\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$
   2. 空间第二余弦定理 $\cos\theta=\frac{|AD^2+BC^2-AC^2-BD^2|}{2AB\cdot CD}$
4. 线面角 —— $\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|}$ ，较难做的题目亦可用等体积法。
5. 二面角 —— $\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$

向量叉乘

• 若 $\overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{b}=b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k}$，则 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$