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创新人才数学题总结

目录

  1. 行程问题
  2. 工程问题
  3. 浓度问题
  4. 几何问题
  5. 数论问题
  6. 计数问题（排列组合）

1. 行程问题

1.1 相遇行程问题

对于相遇问题，通常存在两人 a,ba,b，进行相遇。
公式如下：
t相遇=SVa+vbt_{相遇} = \frac{S}{V_a + v_b}
S=t(va+vb)S = t(v_a + v_b)
va+vb=Stv_a + v_b = \frac{S}{t}
当两人第 xx 次迎面相遇时，两人一共走了 2x−12x - 1 个全程。

1.2 追及行程问题

对于追及问题，通常存在两人 a,ba,b，进行追及。
公式如下：
t追及=Sva−vbt_{追及} = \frac{S}{v_{a} - v_b}
S=t(va−vb)S = t(v_a-v_b)
va−vb=Stv_a - v_b = \frac{S}{t}
当两人第 xx 次追及相遇时，两人一共走了 2x2x 个全程。

1.1-2 组合行程问题（多人多次相遇追及）

当出现多人多次相遇追及问题时，首先要进行分析速度关系，例如下题：
例：
有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从某地出发同向而行。乙比丙晚 1010 分钟出发，出发后 4040 分钟追上丙；甲比乙晚出发 2020 分钟，出发后一小时40分追上丙，请问：甲出发多少分钟后追上乙？
这道题分析如下
10v丙=40(v乙−v丙)30v丙=100(v甲−v丙)10v_丙 = 40(v_乙 - v_丙)\\ 30v_丙 = 100(v_甲 - v_丙)\\
根据此式列出速度比即可

1.3 变速行程问题

求平均速度：
v平均=S总÷t总v_{平均} = S_总 \div t_总
变速问题通常需要画图解决变速关系，再列关系式求解

1.4 流水行船问题

逆水速度 = 静水速度 - 水速
顺水速度 = 静水速度 + 水速
顺水速度 - 溺水速度 = 2×2 \times 水速

1.5 火车行程问题

火车过桥：（火车长 + 桥长）除以车速
火车相遇（头相遇）：相遇路程 除以 两车车速和
火车完全相遇（尾驶离）：（相遇路程 + 两车车长）除以 两车车速和
火车从头相遇到尾驶离：两车车长 除以 两车车速和
火车追及：（追及路程 + 两车车长） 除以 两车车速差
火车与人相遇：相遇路程 除以 人加车速
火车与人追及（尾驶离）：（追及路程 + 车长） 除以 人与车速差

1.6 比例解行程问题

当路程相同时，时间与速度成反比；
当时间相同时，路程与速度成正比；
当速度相同时，路程与时间成正比；

1.7 柳卡图

一种把时间和路程映射到一个平面的图，用于多次相遇追及的找规律，需结合沙漏模型进行解答。
https://www.bilibili.com/video/BV1D3BiYRE41/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=b3dc00fcf2c0446858234ec7119e2956
视频

2. 工程问题

3. 浓度问题

4. 几何问题

4.1 等高模型

如上图，S1:S2=a:bS_1 : S_2 = a : b
当两个三角形高相等时，面积比等于底边比
等高模型可以使用在任意两个高相等的三角形中

4.2 等积变形

当两个三角形等底等高时，两个三角形面积相等
那么，由于两条平行线内垂足处处相等，所以当出现平行线时，可以将三角形的一个在平行线上的点(如AA)拉到这条直线 (直线ABAB)上的其他点，如 BB.
通俗来讲，这个方法叫拉窗帘

4.3 容斥原理

当一个图形有点不规则时，可以通过其他的规则图形的加减得到，如：
当求 SA−SBS_A - S_B 时，可以通过中间的那一块 SCS_C 求得：
SA−SB=(SA+SC)−(SB+SC)S_A - S_B = (S_A + S_C) - (S_B + S_C)
这时 (SA+SC)(S_A + S_C) 是平行四边形， (SB+SC)(S_B + S_C) 是三角形，就可以通过规则图形相减了

4.4 鸟头模型

推导：
S△ABE=S△ABC×ACAES_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE}
S△ADE=S△ABE×ABADS_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABE} \times \frac{AB}{AD}
S△ADE=S△ABC×ACAE×ABADS_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE} \times \frac{AB}{AD}
如上
推导：
S△ABE=S△ABC×ACAES_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE}
S△AED=S△ABE×ADABS_{\triangle AED} = S_{\triangle ABE} \times \frac{AD}{AB}
S△AED=S△ABC×ACAE×ADABS_{\triangle AED} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE} \times \frac{AD}{AB}
如上

4.5 蝴蝶模型

AO:OC=DO:OB=S1:S2=S1:S4=S2:S3=S4:S3=S1+S2:S3+S4=S1+S4:S2:S3=a:bAO : OC = DO : OB = S_1 : S_2 = S_1 : S_4 = S_2 : S_3 = S_4 : S_3 = S_1 + S_2 : S_3 + S_4 = S_1 + S_4 : S_2 : S_3 = a : b
S1:S2:S4:S3=a2:ab:ab:b2S_1:S_2:S_4:S_3 = a^2 : ab : ab : b^2
S1S_1 以 aa 为底高与 S3S_3 以 bb 为底的高的比为 a:ba:b（适用于柳卡图，求占总路程的几分之几）
S1×S3=S2×S4S_1 \times S_3 = S_2 \times S_4
S1+S2:S3+S4=AO:OCS_1 + S_2 : S_3 + S_4 = AO : OC
S1+S4:S2+S3=DO:OBS_1 + S_4 : S_2 + S_3 = DO : OB
最后三条同样适用于任意四边形（其余仅适用于梯形）

4.6 燕尾模型

S1:S2=S3:S4=CD:DBS_1 : S_2 = S_3 : S_4 = CD : DB

4.7 沙漏模型

见蝴蝶模型的结论，形似蝴蝶模型，但去掉了蝴蝶的翅膀

4.8 折射问题

形如光线反射问题，我们可以多复制这个图形，并把光线拉直成直线（直接不折射）

4.9 大题蹭分小技巧

强行建系，列方程（可以看bilibili）

5. 数论问题

5.1 整除问题

4,254,25 的整除性质：末两位能被 4,254,25 整除
8,1258,125 的整除性质：末三位能被 8,1258,125 整除
22 的整除性质：末一位是 0,2,4,6,80,2,4,6,8
33 的整除性质：数字之和是 33 的倍数
55 的整除性质：末一位是 0,50,5
77 的整除性质：截尾法：末位×2后与前数相减，重复至能判断
1313 的整除性质：截尾法：末位×4后与前数相加，重复至能判断
1111 的整除性质：奇数位和 - 偶数位和的差能被11整除

5.2 余数问题

5.2.1 同余问题

当
a≡x(modm)b≡x(modn)\begin{align} a &\equiv x \pmod{m} \\ b &\equiv x \pmod{n} \end{align}
时，x∣(a−b)x \mid (a - b) ，可以通过质因数分解来找到 xx 所有的可能值

5.2.2 逐一满足

当存在方程
a≡x(modm)a≡y(modn)a≡z(modk)\begin{align} a &\equiv x \pmod{m} \\ a &\equiv y \pmod{n} \\ a &\equiv z \pmod{k} \end{align}
时，可以通过逐一满足法逐一满足方程
比如：
1.a=x,x+m,x+2m,x+3m...1. a = x,x + m,x + 2m,x + 3m ...
2.a=y(同时满足第一个和第二个条件的最小数(从条件1中找)),y+[m,n],y+2[m,n]2. a = y(同时满足第一个和第二个条件的最小数(从条件1中找)),y + [m,n],y + 2[m,n]
3.a=z(同时满足第一个、第二个条件和第三个条件的最小数(从条件2中找)),y+[m,n,k],y+2[m,n,k]3. a = z(同时满足第一个、第二个条件和第三个条件的最小数(从条件2中找)),y + [m,n,k],y + 2[m,n,k]
最小答案为 zz，其中 [m,n,k][m,n,k] 代表 m,n,km,n,k 的最小公倍数

5.2.3 找规律

当存在一串有规律的数字反复出现时(如 aaaaaaaaaaaa‾\overline{aaaaaaaaaaaa})，我们需要从一位数开始枚举，找出规律

5.3 因数

5.3.1 因数个数

通常来说，因数个数的表达式如下：
当存在数字 a=p1q1×p2q2×P3q3a = p_1^{q_1} \times p_2^{q_2} \times P_3^{q_3}，其中 pwp_w 为质数 ，整数 aa 的 因数个数为 (q1+1)(q2+1)(q3+1)(q_1+1)(q_2+1)(q_3+1)，以此类推

5.3.2 因数问题

当出现一个数的因数个数时，第一步将这个个数质因数分解，进而求出整数 aa 的因数分解表达形式

5.4 大题蹭分小技巧

把题目的关系式用同余，整除之类的式子先写出来，会的在继续写，不会的就跳过了

6. 计数问题（排列组合）

详见https://www.bilibili.com/video/BV1S14y1g7ZV?vd_source=b3dc00fcf2c0446858234ec7119e2956&spm_id_from=333.788.videopod.episodes

6.1 隔板法

在一些物品中插入另一些东西，共有两种隔板方式

6.1.1 不可以为零的隔板

中间必须有东西，那么插得板就是物品数减一(n−1n - 1)，答案为 Cn−1mC_{n-1}^m，其中 mm 为板数

6.1.2 可以为零的隔板

中间可以没有东西，那么就可以转化为一个数字构造问题，答案为 Cn+mmC_{n+m}^m，其中 mm 为板数，nn 为物品数

6.2 数字构造问题

把数字到空格里面，每一个数字分别可以有 CknC_k^n 种填法，其中 kk 为剩下空格数，nn 为此数字个数

6.3 递推

通过枚举找到规律，然后根据规律算出答案

6.4 传球法

通过列表完成，详细可看上述视频合集

6.5 概率

通过 满足要求方案数总方案数\frac{满足要求方案数}{总方案数} 求出

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