压轴题的正确姿势

已知函数 $f(x)=e^x(x-3)+ax^2+2x+3$，问 $f(x)$ 零点个数。

考虑对 $e^x$ 泰勒展开化为多项式，易知 $0$ 处有俩重根。

除去，得 $g(x)=\frac{f(x)}{x^2}$，此时 $g'(x)$ 中不含 $a$，可知 $g'(x)$ 与 $x$ 同正负，则 $g(x)$ 最低点为 $g(0)=a-\frac12$，左侧最大为 $a$，右侧最大正无穷。

综上，$f(x)$ 的零点个数当 $a\le0$ 时为 $2$，$0<a<\frac12$ 时为 $3$，$\frac12\le a$ 时为 $1$。