导数

基本初等函数的导数公式

运算法则

• $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$
• $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
• $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)$
• $[cf(x)]'=cf'(x)$
• $[af(x)\pm bg(x)]'=af'(x)\pm bg'(x)$
• $[\frac{1}{g(x)}]'=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)$
• 复合函数 $y=f(g(x))$ 的导数，与 $y=f(u), u=g(x)$ 的关系：$y_x^{'}=y_u^{'}\cdot u_x^{'}$
  即 $y$ 对 $x$ 的导数等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘 $u$ 对 $x$ 的导数。
  例 1：求 $f(x)=(3x+5)^3$ 的导数 $f'(x)$，可以看作 $y=u^3$ 与 $u=3x+5$ 的复合函数。
  $y_x^{'}=y_u^{'}\cdot u_x^{'}=(u^3)'\cdot (3x+5)'=3u^2 \times 3 = 9(3x+5)^2$
  例 2：求 $f(x)=e^{-0.05x+1}$ 的导数 $f'(x)=(e^{u})'\cdot(-0.05x+1)'=-0.05e^{-0.05x+1}$
  例 3：求 $f(x)=\ln(2x-1)$ 的导数 $f'(x)=(\ln{u})'\cdot(2x-1)'=\frac{1}{u}\times 2=\frac{2}{2x-1}$
• $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取极值时，$f'(x_0)=0$。
• $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线斜率 $k=f'(x_0)$，切线方程 $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

重要结论

• $2$ 个重要极限：$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• 常见的指数放缩：$e^x\geq x+1(x=0$ 取等$),e^x\geq ex(x=1$ 取等$)$
• 常见的对数放缩：$1-\frac{1}{x}\leq \ln x\leq x-1(x=1$ 取等$),\ln x\leq \frac{x}{e}(x=e$ 取等$),x\geq \ln(x+1)(x=0$ 取等$)$
• 常见的三角放缩：$\sin x<x<\tan x(x\in(0,\frac{\pi}{2}))$

三次函数

1. $f(x)=0$ 有 $1$ 个根 $\xleftrightarrow{}\Delta\leq 0$ 或 $\begin{cases}\Delta>0 \\ f(x_1)f(x_2)>0\end{cases}$
2. $f(x)=0$ 有 $2$ 个根 $\xleftrightarrow{}\begin{cases}\Delta>0 \\ f(x_1)f(x_2)=0\end{cases}$
3. $f(x)=0$ 有 $3$ 个根 $\xleftrightarrow{}\begin{cases}\Delta>0 \\ f(x_1)f(x_2)<0\end{cases}$

整体代换

对称中心

• 已知 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，则 $f(x)$ 的对称中心为 $(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$，此时 $f''(x)=0$。若 $x_1,x_2$ 是 $f(x)$ 的极值点或 $x_1,x_2$ 关于 $x=-\frac{b}{3a}$ 对称，则 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}=f(\frac{x_1+x_2}{2})=f(-\frac{b}{3a})$。

复合函数方程有解问题

1. 已知 $f(x)=|x^2-4x|$，求方程 $f^2(x)-3f(x)+2=0$ 的实数根的个数。
2. 已知 $f(x)=|x^2-4x|$，求方程 $f^2(x)-3af(x)+2a^2=0$ 的实数根的个数。

1. $f^2(x)-3f(x)+2=[f(x)-1][f(x)-2]=0\implies x=1\ \text{or}\ 2$，画图得共 $8$ 个实数根。
2. $f^2(x)-3af(x)+2a^2=[f(x)-a][f(x)-2a]=0\implies x=a\ \text{or}\ 2a$，接下来分类讨论即可。

3. 已知 $f(x)=\begin{cases} x^2 & x\leq 0 \\ 4\sin x & 0< x\leq \pi \end{cases}$，方程 $f(f(x))=0$ 有多少个解 ？

4. $f(x)=\frac{x}{e^{x-1}}$，若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-m|f(x)|-2m-3=0$ 有三个不同实数根，求 $m$ 范围。

5. 【2019 广东二模理 T12】$f(x)=\begin{cases}1-x & x\leq 0 \\ \log_2x x>0\end{cases}$，若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=m$ 有两个不同根 $x_1,x_2$，求 $x_1+x_2$ 范围。

$f(f(x))=x$ 或 $f(g(x))=x$ 型

1. 若 $f(x)$ 单调，则 $f(f(x))=x$ 的解与 $f(x)=x$ 的解相同
2. $f(f(x))=x$ 有解 $\iff\ f(x)=x$ 有解。
3. $f(f(x))=x$ 无解 $\iff\ f(x)=x$ 无解。
4. $f(g(x))=x$ 有解 $\iff\ g(f(x))=x$ 有解。

1. 【2013 SC 理 T10】$f(x)=\sqrt{e^x+x-a}$。若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $(x_0,y_0)$ 使得 $f(f(y_0))=y_0$，求 $a$ 的范围。

2. $f(x)=\ln x+\frac{1}{2}x-a$，若存在 $b\in[1,e]$ 使得 $f(f(b))=b$，求 $a$ 的范围。

简单的恒成立问题

• $f(x)\geq 0$ 在定义域内恒成立等价于 $f(x)_{\min}\geq 0$。
• $f(x)\leq 0$ 在定义域内恒成立等价于 $f(x)_{\max}\leq 0$。

• 指数找队友：形如 $\boxed{e^xf(x)}$ 或 $\boxed{e^{-x}f(x)}$ 求导后是 $\boxed{e^x[f(x)+f'(x)]}$ 和 $\boxed{-e^{-x}[f(x)-f'(x)]}$，显然 其导数的零点和指数函数毫无关系！ 因此可以将函数变形成 $e^{\pm x}f(x)$ 的形式再求导数零点。 注意：
  1. 不一定需要变形。
  2. 若要求 $f(x)$ 的最值、极值、单调性就不能使用这个方法。

• 对数单身狗：形如 $\boxed{f(x)+\ln g(x)}$ 的函数求导后是 $\boxed{f'(x)+\frac{g'(x)}{g(x)}}$，显然 其导数的零点和对数函数毫无关系！ 因此可以将函数变形成 $f(x)+ln g(x)$ 的形式再求导数零点。 也有另外一种形式：$y=f(x)(\ln f(x)+C),y'=f'(x)(\ln f(x)+C+1)$，其中 $C$ 为常数。

零点问题

A

• 零点存在定理：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必存在零点。注意这一定理不具备必要性。
• 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有零点且单调，则零点唯一。
• 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有唯一零点 $x_0$ 且 $f(a)f(b)>0$，则 $f'(x_0)=0$。

---

1. $0<a<\frac{4}{\pi}$，若 $f(x)=e^x-\cos x-ax$ 在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上有唯一零点，求 $a$。

---

2. 【2012 FJ 文 T22】求 $f(x)=x\sin x-\frac{3}{2}$ 在 $(0,\pi)$ 上的零点个数。

---

3. 已知 $f(x)=e^x-ex-a(x^2-x)$ 在 $(0,1)$ 上有零点，求 $a$ 范围。

• 因此我们得出结论：若 $f(x)$ 在 闭区间 $[a,b]$ 上有 $m$ 个不同的零点，则 $f'(x)$ 至少 $m-1$ 个零点，$f''(x)$ 至少 $m-2$ 个零点，$\dots$。也就是说，每求一次导其零点的个数至多减少 $1$ 个。注意此结论不可逆推。 如果题目给开区间：判断端点是否是零点！ 如第 $3$ 题，$f(1)=0,f(0)\neq 0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 至少 $2$ 个零点，$f'(x)$ 至少 $1$ 个零点。

B

• 广义零点存在定理：如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且在区间端点不一定有意义，若 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有零点。

---

1. $f(x)=\ln x+\sin x$，找出一个 $x_0\in(0,+\infty)$ 使得 $f(x_0)<0$。

C

方法论

分离变量

同构

导数与高等数学

洛必达法则

• 洛必达法则：当 $x\to a$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 同时趋近于 $0$ 或 $\infty$，则：

泰勒展开 Taylor Expansion

p(x_0)&=f(x_0) \\ p'(x_0)&=f'(x_0) \\ p''(x_0)&=f''(x_0) \\ &\dots \\ p^{(n)}(x_0)&=f^{(n)}(x_0) \end{aligned}$$ 当 $x=x_0$ 时，$p(x)$ 又称 $f(x)$ 的麦克劳林级数，以下统称泰勒级数。而求解函数在某点的泰勒级数就叫泰勒展开。 #### 高中常见的泰勒级数 以下令 $x_0=0$。 首先最基础的必背的一定不能忘记的是 $f(x)=e^x$，其任意阶导数 $f^{(n)}(x)=e^x$。 $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}$$ 然后是三角函数 $\sin$ 和 $\cos$： $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}$$ 下面考虑对数函数 $f(x)=\ln(x+1)$ 的泰勒级数，我们先考虑下面的展开： $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}x^k$$ 因此我们有 $$f'(x)=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^kx^k$$ 两边同时积分并待定常数，取 $x=0$ 得 $$\ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1} }{k}x^k$$ 对于 $\tan x$，其泰勒展开十分复杂，直接给出： $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dots=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(2^{2k}-1)2^{2k}B_k}{(2k)!}x^{2k-1}$$ 这里 $B_k$ 是第 $k$ 个伯努利数的偶数项的绝对值。 #### 泰勒展开的应用 - 泰勒放缩 直接去掉后面的高次项即可。常见的几个式子： $$e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\geq 0)$$ $$e^x\leq 1+x+\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\leq 0)$$ $$e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$$ $$\ln(x+1)\geq x-\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\geq 0)$$ $$\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geq 0)$$ $$\sin x\leq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\leq 0)$$ $$\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}$$ 例题：【2022 甲卷】已知 $\displaystyle a=\frac{31}{32},b=\cos\frac{1}{4},c=4\sin\frac{1}{4}$，比较 $a,b,c$ 的大小。 由 $\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}$ 得 $b>1-\frac{(\frac{1}{4})^2}{2}=\frac{31}{32}=a$ 由 $\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geq 0)$ 得 $c>\frac{95}{96}>a$ 构造函数：取 $x=\frac{1}{4}$，则 $b=\cos x,c=\frac{\sin x}{x}$，设 $x=\frac{1}{4}$ 时 $\cos x<\frac{\sin x}{x}$，构造 $f(x)=\sin x-x\cos x\ \ (x>0)$ $f'(x)=x\sin x>0\ \ (x\in(0,\frac{1}{4}])$ 故 $c>b$ 成立，答案为 $c>b>a$。 ### 帕德逼近 好难看不懂捏。直接搬结论了。 | $f(x)=e^x$ | $0$ | $1$ | $2$ | |:-:|:-:|:-:|:-:| | $0$ | $1\\$ 先大后小 | $x+1\\$ 恒小于 | $\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{2}\\$ 先大后小 | | $1$ | $\displaystyle\frac{1}{1-x}\\$ 恒大于 | $\displaystyle\frac{2+x}{2-x}\\$ 先小后大 | $\displaystyle\frac{6+4x+x^2}{6-2x}\\$ 恒大于 | | $2$ | $\displaystyle\frac{2}{x^2-2x+2}\\$ 先小后大 | $\displaystyle\frac{2x+6}{x^2-2x+6}\\$ 恒小于 | $\displaystyle\frac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}\\$ 先大后小 | | $f(x)=\ln x$ | $0$ | $1$ | $2$ | |:-:|:-:|:-:|:-:| | $0$ | $-$ | $x-1\\$ 恒大于 | $\displaystyle\frac{-x^2+4x-3}{2}\\$ 先大后小 | | $1$ | $-$ | $\displaystyle\frac{2x-2}{x+1}\\$ 先小后大 | $\displaystyle\frac{x^2+4x-5}{4x+2}\\$ 恒大于 | | $2$ | $-$ | $\displaystyle\frac{12x-12}{5+8x-x^2}\\$ 恒大于 | $\displaystyle\frac{3x^2-3}{6x^2-11x+11}\\$ 先大后小 | 此外，对 $f(x)=\ln x$，一个较常用的估计式是 $\displaystyle\frac{x^2-1}{2x}$。 ### 积分 为了保证高中生能看懂，这里的定积分知识**极其有限**，大学会学得更深。 注意：如果你是 MOer，请忽略这部分内容，竞赛不考微积分。 #### 几何意义 如果在 $[a,b](a\neq b)$ 上函数 $f(x)$ 连续且恒有 $f(x)\geq 0$，那么定积分 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 以及直线 $x=a,x=b,y=0$ 围成的曲边梯形的面积。 若 $f(x)\leq 0$，那么定积分 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 以及直线 $x=a,x=b,y=0$ 围成的曲边梯形的面积的**负值**。 如果我们把 $x$ 轴上方的面积赋予正号，下方的面积赋予负号，那么在一般情形下，定积分 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$ 以及直线 $x=a,x=b,y=0$ 围成的各部分图形面积的代数和。 #### 微积分基本定理 / 牛顿 - 莱布尼兹公式 以下设 $C$ 是一个常数。 如果 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数且 $F'(x)=f(x)$，那么 $$\boxed{\int_{a}^{b}f(x)\ dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a) }$$ 我们称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。因为 $[F(x)+C]'=f(x)$，所以 $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的原函数。 常用定积分公式： $$\int_{a}^{b}C\ dx=Cx|_{a}^{b}=Cb-Ca=C(b-a)$$ $$\int_{a}^{b}x^n\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}|_{a}^{b}=\frac{1}{n+1}b^{n+1}-\frac{1}{n+1}a^{n+1}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1} }{n+1}$$ $$\int_a^b\sin x\ dx=(-\cos x)|_a^b=-\cos b+\cos a$$ $$\int_a^b\cos x\ dx=\sin x|_a^b=\sin b-\sin a$$ $$\int_a^b\frac{1}{x}\ dx=\ln x|_a^b=\ln b-\ln a=\ln\frac{b}{a}$$ $$\int_a^b e^x\ dx=e^x|_a^b=e^b-e^a$$ $$\int_a^b n^x\ dx=\frac{n^x}{\ln n}|_a^b=\frac{n^b}{\ln b}-\frac{n^a}{\ln a}$$ #### 定积分的基本性质 1. $$\int_a^b Cf(x)\ dx=C\int_a^b f(x)\ dx$$ 2. $$\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\ dx=\int_a^b f(x)\ dx\pm\int_a^b g(x)\ dx$$ 3. $$\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx$$ 4. 在区间 $[a,b]$ 上满足 $f(x)\geq 0$，则 $$\int_a^b f(x)\ dx\geq 0$$ 5. 在区间 $[a,b]$ 上满足 $f(x)\leq g(x)$，则 $$\int_a^b f(x)\ dx\leq\int_a^b g(x)\ dx$$ 6. $$\left|\int_a^bf(x)\ dx\right |\leq\int_a^b|f(x)|\ dx$$ 7. 若 $f(x)$ 是偶函数，且在 $[-a,a]$ 上连续，则 $$\int_{-a}^af(x)\ dx=2\int_0^af(x)\ dx$$ 8. 若 $f(x)$ 是奇函数，且在 $[-a,a]$ 上连续，则 $$\int_{-a}^af(x)\ dx=0$$ #### 不定积分 我们现在需要一种简单的表示反导数的方式。根据微积分基本定理，我们可以用 $\displaystyle\int f(x)\ dx$ 表示 “ 函数 $f$ 的反导数的集合 ”，注意任何可积函数都有无数个反导数，唯一不同的是常数部分。例如， $$\int x^2\ dx=\frac{x^3}{3}+C$$ 对于任意常数 $C$ 都成立。也就是说，若 $F'(x)=f(x)$，则 $$\int f(x)\ dx=F(x)+C$$ 不定积分的性质同定积分的性质。 #### 换元法 在定积分中，令 $y=g(x)$，有如下换元公式： $$\boxed{\int_a^bf(g(x))g'(x)\ dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\ dy}$$ 例如： $$\int_0^1e^{2x}\ dx=\int_0^2\frac{1}{2}e^y\ dy=\frac{1}{2}(e^2-e^0)=\frac{1}{2}(e^2-1)$$ #### 应用 1. 计算 $y=e^x$ 在 $x=0$ 与 $x=1$ 之间与 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。 只需计算 $\displaystyle\int_0^1e^x\ dx=e^1-e^0=e-1$ 2. 计算 $x=y^2$ 与 $x=1$ 之间围成的图形的面积。 只需计算 $\displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))\ dx=\int_0^1(2\sqrt{x})\ dx=\frac{4}{3}\sqrt{x^3}|_0^1=\frac{4}{3}-0=\frac{4}{3}$ 3. 【2025 GD 一模 T19】如果函数 $F(x)$ 的导数为 $F'(x)=f(x)$，可记为 $\displaystyle\int f(x)\ dx=F(x)$，若 $f(x)\geq 0$，则 $\displaystyle\int_a^bf(x)\ dx=F(b)-F(a)$ 表示曲线 $y=f(x)$，直线 $x=a,x=b$ 以及 $x$ 轴围成的“曲边梯形”的面积。如：$\displaystyle\int 2x\ dx=x^2+C$，其中 $C$ 为常数；$\displaystyle\int_0^2 2x\ dx=(2^2+C)-(0+C)=4$，则表示 $x=0,x=1,y=2x+C$ 以及 $x$ 轴围成的面积为 $4$。 $(1)$ 若 $f(x)=\displaystyle\int(e^x+1)\ dx,f(0)=2$，求 $f(x)$ 的表达式。 $(2)$ 求曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=-x+6$ 所围成图形的面积。 $(3)$ 若 $f(x)=e^x-1-2mx,x\in[0,+\infty)$，其中 $m\in\R,\forall a,b\in[0,+\infty)$，若 $a>b$，都满足 $\displaystyle\int_0^a f(x)\ dx>\int_0^b f(x)\ dx$，求 $m$ 取值范围。 解：$(1)\ f(x)=e^x+x+1$ $(2)$ 先解方程 $x^2=-x+6$ 得到 $x=-3$ 或 $2$。 答案即为 $\displaystyle\int_{-3}^2 (-x+6-x^2)\ dx=(-\frac{1}{2}x^2+6x-\frac{1}{3}x^3)|_{-3}^2=\frac{22}{3}-(-\frac{27}{2})=\frac{125}{6}$ $(3)$ 由题意可知，$\forall a,b\in[0,+\infty),a>b$ 满足 $F(a)-F(0)>F(b)-F(0)$，即 $F(a)\uparrow$，进而 $f(x)\geq 0$ 在 $[0,+\infty)$ 恒成立。 接下来就是常规导数了。分离参数 $m\leq\frac{e^x-1}{2x}=g(x),g'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{2x^2}$，令 $h(x)=(x-1)e^x,h'(x)=xe^x\geq 0$，即 $h(x)\uparrow,g'(x)\uparrow,g(x)\uparrow$，由洛必达法则，$\displaystyle m\leq\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$。