数学笔记 3.6-3.8

6. Normed vector space

定义 6.1(绝对值): 设 $K$ 是一个域，如果映射 :

$|. | : K \to \R_{\ge 0}$

满足以下条件 :

$(1).$ $\forall a \in K , (|a| = 0) \Leftrightarrow (a=0)$

$(2).$ $\forall a,b \in K$, $|ab| = |a| |b|$.

$(3).$ $\forall a,b \in K, |a+b| \le |a| + |b|$. (三角形不等式)

则称之为域上的绝对值.

Remark 6.2: 有了域上的绝对值，我们就可以定义一个诱导度量 :

$d_{| \cdot|} : K \times K \to \R_{\ge 0}$

$(a,b) \to |a-b|$

不难验证其的确是一个度量 .

进一步的，如果由 $|\cdot|$ 诱导得度量 $d_{|\cdot|}$ 使得 $K$ 成为一个完备得度量空间，则称资料 $(K,|\cdot|)$ 是一个完备域 ($\text{Complete valued field}$).

定义 6.3(范数与半范数): 设 $(K,|\cdot|)$ 是一个配备了绝对值的域，而 $V$ 是一个 $K$-向量空间，如果映射:

$\| \cdot\|: V \to \R_{\ge 0}$

$v \to \| v \|$

满足以下条件 :

$(1).$ $\forall (a,v) \in K \times V, \| av \| = |a| \cdot \| v \|$

$(2).$ $\forall (v_1,v_2) \in V \times V$, $\|v_1 +v_2 \| \le \| v_1 \| + \| v_2 \|$

则称其为半范数，如果还满足 :

$(3).$ $\forall v \in V , (v =0) \Leftrightarrow (\| v \| =0)$

则称其为是范数. 称资料 $(V, \| \cdot \|)$ 是赋范向量空间.

同理，我们也可以根据向量空间上的范数定义向量空间上的诱导度量.

定义 6.4(商空间上的商范数): 设 $W \subseteq V$ 是一个线性子空间, 则定义 :

$\| \cdot \|_{V / W} : V /W \to \R_{\ge 0}$

$\alpha \to \inf_{s \in \alpha} \| s \|$

为 $V/W$ 商空间上的商范数.

命题 6.5： 对向量空间和其上的半范数 $(V, \| \cdot \|)$ ，子集 $N = \{ s\in V | \| s \| =0 \}$ 是一个向量子空间 . 且 $(V / N , \| \cdot \|_{V/N})$ 是一个范数.

Denote 6.6: 设 $(V, \| . \|)$ 是一个 $K$ 上向量空间，且装配了一个半范数，则对于 $x \in V , 0 \le r \in \R_{\ge 0}$, 我们记 :

$B(x,r) = \{ y \in V | \| y-x \| < r \}$

$\bar B(x,r) = \{ y \in V | \| y-x \| \le r \}$

注意到，如果我们仍然取子空间 $N = \{ s \in V | \| s \| =0 \}$, 则对于任意 $r>0 , x \in V$, 我们有 :

$x +N \subseteq \bar B (x,r)$

故而其将不是一个豪斯多夫空间. 半范数诱导的拓扑一般是不太好的.

定义 6.7(有界映射): 设 $(V, \| . \|_1),(W, \| . \|_2)$ 是赋范向量空间，称映射 $f: V \to W$ 是有界的，如果:

$\exist c>0 , \forall x \in V , \| f(x) \|_2 \le c \| x \|_1$

Lemma 6.8: 如果 $(V, \| . \|)$ 是一个 $K$ 上向量空间，且装配了一个半范数，我们按先前的讨论给其配备一个度量以及一个拓扑. 则 $N_{\| . \|} = \{ s \in V | \| s \| =0 \}$ 是闭集.

Theorem 6.9: 设 $(V_1, \| . \|_1)$ 和 $(V_2, \| . \|_2)$ 是赋范向量空间，$f : V_1 \to V_2$ 是线性映射 .

$(1).$ 如果 $f$ 是连续的，则若 $s \in V_1$ 满足 $\| s \|_1 =0$ 则 $\| f(s) \|_2 =0$.

$(2).$ 如果 $f$ 是有界的，则 $f$ 是连续的.

$(3).$ 如果 $f$ 是连续的，且 $|. |$ 是 $\text{Non-trival}$ 的 $K$ 上绝对值, 则 $f$ 是有界的.

定义 6.10(算子半范数): 设 $(V_1,\|. \|_1) ,(V_2,\|.\|_2)$ 都是赋范向量空间，对于映射 $f :V_1 \to V_2$, 我们定义 :

$\| f \| := \begin{cases} \sup_{x \in V_1 \setminus N_{\| .\|_1}} \dfrac{\| f(x) \|_2}{\| x \|_1} , & f(N_{\| . \|_1}) \subseteq N_{\| . \|_2} \\ + \infty , & f(N_{\| .\|_1}) \nsubseteq N_{\| . \|_2} \end{cases}$

我们在记 $\mathscr L (V_1,V_2)$ 是所有有界线性 $K$-映射组成的集合，其显然是 $\text{Hom}_K (V_1,V_2)$ 的线性子空间. 而 $\| .\|$ 定义了 $\mathscr L(V_1,V_2)$ 上的范数/半范数. (验证是容易的)

命题 6.11: 如果 $\|.\|_2$ 是范数，则 $\|.\|$ 是一个范数.

定义 6.12: 设 $(V,\|. \|)$ 是一个赋范向量空间，且其诱导的度量是完备的，则称其是 $\text{Banach space}$.

Theorem 6.13: 如果 $(V_2, \| . \|_2)$ 是 $\text{Banach space}$ , 则 $\mathscr L(V_1,V_2)$ 也是 $\text{Banach space}$.

7. differential

定义 7.1: 设 $E$ 是 $K$ 上赋范向量空间, $X$ 是一个拓扑空间。我们考虑映射 $f : X \to E$ 以及非零映射 $g : X \to \R_{\ge 0}$ , 取元素 $p \in X$.

$(1).$ 记号 $f(x) = O(g(x)) , x \to p$ 蕴含 :

$对于任意 p 的邻域 V， \exist c>0, \forall x \in V , \| f(x) \| \le c g(x)$

$(2).$ 记号 $f(x) = o(g(x)), x \to p$ 蕴含

$\exist p 的邻域 V, 映射 \varepsilon : V \to \R_{\ge 0}$

$此映射满足 \forall \delta >0 , \exist 开邻域 p \in U \subseteq V, 使 \forall x \in U, \varepsilon(x) \le \delta$

$即 \lim_{x \in V, x \to p} \varepsilon (x)=0$

$满足 \forall x \in V, \| f(x) \| \le \varepsilon (x) g(x)$

定义 7.2: 设 $E,F$ 都是 $K$ 上的赋范向量空间，按标准手法诱导上面的度量以及拓扑，设 $U \subseteq E$ 是开集，我们考虑映射 $f: U \to F$.

对于 $p \in U$, 如果存在 $\varphi \in \mathscr L(E,F)$ 满足 :

$f(x) = f(p) + \varphi (x-p) + o( \| x - p \|) , x \to p$

则称 $f$ 在 $p$ 点可微，且称 $\varphi$ 为 $f$ 在 $p$ 点微分.

Theorem 7.3 设 $f: U \to F$ 在 $p$ 点可微，则微分唯一，我们记其为 $\text{d}f_p$.

Example 7.4:

$(1).$ $f : U \to F$ 为常值函数 $f(x)= c \in F$,则 $\text d f_p =0$

$(2).$ $f \in \mathscr L(E,F)$, 则 $\text d f_p =f$.

$(3).$ 取赋范向量空间 $E \times E$ 和 $E$, 其上的范数分别定义为 :

$E : \|. \|$

$E \times E : \| (x,y) \| = \| x \| + \| y \|$

定义映射 $f : E\ \times E \to E$ 为 :

$f : E \times E \to E$

$(x,y) \to x+y$

显然其是有界线性映射，故而 $\text d f_{(p,q)}=f$.

$(4).$ 这是一个不那么平凡的例子，我们考虑赋范向量空间 $(K,E),E$. 其上的范数定义为 :

$E : \|. \|$

$K \times E : \| (\lambda,x) \| = \| \lambda x \|$

现在我们考虑映射 :

$m : K \times E \to E$

$(\lambda,x) \to \lambda x$

我们来计算其在 $(a,p) \in K \times E$ 处的微分是什么 .

考虑：

$\lambda x -ap = (\lambda -a) p + a(x-p) + (\lambda-a)(x-p)$

以及 :

$\| \lambda x - ap - \text d m_{a,p}(\lambda -a, x-p) \| = o(\|(\lambda-a),(x-p)\|)$

$= o(\| (\lambda-a)(x-p) \|)$

容易看出 :

$\forall (\mu,y) \in K \times E , d m_{a,p}(\mu,y)=\mu p + ay$

Theorem 7.5(Chain rule of differential): 设 $E,F,G$ 都是赋范线性空间，对于开集 $U \subseteq E, V \subseteq F$ 定义映射 $f : U \to F, g : V \to G$. 如果 $f(U) \subseteq V, p \in U$. $f$ 在 $p$ 可微且 $g$ 在 $f(p)$ 可微，则 $g \circ f$ 在 $p$ 可微，且 :

$\text d (g \circ f)_p = \text d g_{f(p)} \circ \text d f_p$

推论 7.6: 设 $E,F$ 都是赋范向量空间， $U \subseteq E$ 是开集, 定义映射 $f : U \to K , g : U \to F$, 取 $p \in U$. 若 $f,g$ 都是在 $p$ 可微的，定义映射 :

$fg : U \to F$

$x \to f(x) g(x)$

则: $\text d fg_p = g(p) \text d f_p + f(p) \text d g_p$

特别的，当 $F=K$ 时，此即乘积求微的法则.

Denote 7.7: 设 $p \in U \subseteq K$ 是开集，$(F, \| . \|)$ 是赋范向量空间，如果映射 $f : U \to F$ 在 $p$ 可微, 那么记 $\text d f_p (1) \in F$ 为 $f'(p)$ , 且称其为 $f$ 在 $p$ 的导数 .

Example 7.8: 对于映射:

$f_n : K \to K$

$x \to x^n$

可以归纳的证明 $\text d f_n (x)$