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从实函数到复变函数：复分析入门浅析

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1. 复数的代数表示与四则运算

复数的出现基于这样一个事实：方程 x2+1=0x^2+1=0 在实数范围内无解。
一开始，数学家们对这个事实避而不谈，试图回避虚数的存在。
可三次方程的通解让复数“不得不”出现在了数学界。
1545 年，意大利数学家卡尔达诺发表的《大术》一书内首次正式探讨了复数，从此复数走进数学界，并开始大刀阔斧地改变数学界。
复数的出现是对实数域的再一次扩域，由此带来的复分析更是数学中的一柄利刃。
复数的定义如下：
形如 z=a+bi(a,b∈R)z=a+bi(a,b\in\mathbb{R}) 的数称为复数（complex number），其中 ii 为虚数单位，满足 i2=−1i^2=-1。
虚数 z=a+biz=a+bi 内的 aa 称为 zz 的实部，记为 a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z)，bb 称为 zz 的虚部，记为 b=Im⁡(z)b=\operatorname{Im}(z)。
对于复数 z=a+biz=a+bi，我们记 z‾=a−bi\overline{z}=a-bi 为 zz 的共轭复数。
所有复数组成的集合称之为复数集或复数域（complex domain），用 C\mathbb{C} 表示。
两个复数相等当且仅当其实部和虚部分别相等，虚部非零的复数之间无法比较大小。
复数的四则运算定义如下：
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i
a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i

2. 复平面与复数的三角表示

对于每一个复数 z=a+biz=a+bi，我们都可以在平面上用一个点 (a,b)(a,b) 表示。
用以表示复数的平面，我们称之为复平面（complex plane）。
复平面实际上是由两根相交的数轴组成，其中一根表示复数的实部，另一根表示复数的虚部，分别称为实轴和虚轴。
一般我们把实轴和虚轴的原点重合，并令两轴互相垂直，使用相同的单位长度。
怎么样，看上去是不是很像平面直角坐标系？
实际上，复数域 C\mathbb{C} 本身就可以看作实数域对 R2\mathbb{R}^2，因此可以如此表示。
如果我们把复平面上的点 (a,b)(a,b) 与平面直角坐标系相对应，那么另一种常见坐标系——极坐标系对应什么呢？
我们都知道，极坐标系依靠极角和极径确定一个点的位置，那么我们也可以用这两个参数确定一个复数，也就是复数的三角表示。
我们定义复数 z=a+biz=a+bi 的模（module）rr（也记为 ∣z∣|z|）为 zz 表示的点到原点的距离，幅角（argument）θ\theta（也记为 arg⁡(z)\arg(z)）为从实轴正半轴到连接 zz 表示的点与原点形成的向量之间的夹角。
依照几何关系，我们容易得到复数 z=a+biz=a+bi 可以表示为 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)，且满足关系 a=rcos⁡θa=r\cos\theta，b=rsin⁡θb=r\sin\theta，这就是复数的三角表示。
还有需要注意的一点是，幅角有无穷多个值，一般取其落于 [0,2π)[0,2\pi) 之间的值，称为幅角主值，记为 Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(z)。
三角表示一般只用于乘除运算，法则如下：
(r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1))(r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2))=r1r2(cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2))(r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1))(r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2))=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))
r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)=r1r2(cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2))\dfrac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}=\dfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))
可以发现，三角表示下的复数乘除表现出优美的性质：乘法表现为模长相乘，幅角相加，而除法则表现为模长相除，幅角相减。

3. 欧拉公式与复数的指数表示

我们不难发现，复数的三角形式在乘除的运算上具有极大的便利性，然而三角函数看着还是不够简洁，我们寻找一个更加简洁的表示方式。
对于非多项式函数，一个非常无脑且通用的方法就是泰勒展开（或更特殊且常用的麦克劳林展开），因此我们考虑对三角函数进行麦克劳林展开。
麦克劳林展开的公式如下：
f(x)=∑i=0+∞f(i)(0)i!xi\boxed{f(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i}
对于函数 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ，有 f(4k)(x)=sin⁡x,f(4k+1)(x)=cos⁡x,f(4k+2)(x)=−sin⁡x,f(4k+3)(x)=−cos⁡xf^{(4k)}(x)=\sin x,f^{(4k+1)}(x)=\cos x,f^{(4k+2)}(x)=-\sin x,f^{(4k+3)}(x)=-\cos x。
因此代入 x=0x=0，有 f(4k)(0)=0,f(4k+1)(0)=1,f(4k+2)(0)=0,f(4k+3)(0)=−1f^{(4k)}(0)=0,f^{(4k+1)}(0)=1,f^{(4k+2)}(0)=0,f^{(4k+3)}(0)=-1。
代入麦克劳林公式有 sin⁡x=∑i=0+∞(−1)i(2i+1)!x2i+1=x−x33!+x55!−⋯\sin x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots。
同理，有 cos⁡x=∑i=0+∞(−1)i(2i)!x2i=1−x22!+x44!−⋯\cos x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots。
故 cos⁡x+isin⁡x=1−x22!+x44!−⋯+i(x−x33!+x55!−⋯ )\cos x+i\sin x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+i(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots)。
看起来更丑了对吧。
所以我们需要找到一个函数，使其的麦克劳林展开可以与三角函数的展开匹配。
通过惊人的注意力，我们找到函数 f(x)=exf(x)=e^x。
容易知道 f(k)(x)=exf^{(k)}(x)=e^x。
故 f(k)(0)=1f^{(k)}(0)=1。
因此 ex=∑i=0+∞xii!e^x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{x^i}{i!}。
为了使其出现虚数，我们在指数上加入 ii。
则 eix=∑k=0+∞xkikk!=1−x22!+x44!−⋯+i(x−x33!+x55!−⋯ )=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^ki^k}{k!}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+i(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots)=\cos x+i\sin x。
很神奇对吧？
这个公式由我们的欧拉大神完成，史称欧拉公式（Euler's formula）（其实你可以在数学书里找到无数个欧拉公式）。
代入 x=πx=\pi，就可以得到欧拉恒等式，又称“上帝公式”：
eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0
这个公式内含 0,1,π,e,i0,1,\pi,e,i 五大数学常数，人称数学史上最美的公式。
借助欧拉公式，我们就找到了复数的指数表示形式：z=reiθz=re^{i\theta}。
相对于三角表示，指数表示极为简洁，同时保持了乘除的简洁性：
(r1eiθ1)(r2eiθ2)=r1r2ei(θ1+θ2)(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2})=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}
r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1−θ2)\dfrac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}

4. 从实函数到复变函数

说完了复数，接下来就是复变函数了。
我们都知道，对于一个映射 f:x→y(x∈D)f:x\to y(x\in D)，若对于 DD 中的每一个元素 xx，有且仅有唯一的 yy 与其对应，则我们称 ff 为 xx 的函数。
对于实函数，其定义域和值域都是实数域 R\mathbb{R} 的非空子集，即 ff 始终满足 R→R\mathbb{R}\to\mathbb{R}。
而对于复变函数，其定义域和值域都是复数域 C\mathbb{C} 的非空子集，即 ff 可以满足 C→C\mathbb{C}\to\mathbb{C}。
复变函数的定义如下：
对于复数域 C\mathbb{C} 的一非空子集 DD，若有一映射 f:z→z′(z∈D)f:z\to z'(z\in D)，且使得 ∀z∈D\forall z\in D，有且仅有唯一的 z′z' 与其对应，则称 ff 是 xx 的函数（function）。
同样地，我们称集合 DD 为复变函数 ff 的定义域（domain），称所有 z′z' 组成的集合 RR 为复变函数 ff 的值域（range）。
若函数中未明确指明 DD，则通常认为 DD 是使得函数 ff 有意义的极大集合，即存在域或自然定义域。
在复变函数中，存在域一般即为复数域 C\mathbb{C} 并去除使得函数无意义的值。

5. 复变函数的基本性质

对于一个复变函数 f(z)f(z)，由于 zz 可以表示为 a+bia+bi，又因为函数的运算结果与 ii 无关（ii 为常量），因此复变函数 f(z)f(z) 可改写为 f(a,b)f(a,b)，即把复变函数的定义域由复数域缩小至实数域。
我们又知道，f(a,b)f(a,b) 的运算结果是一个复数，不妨假定其为 x+yix+yi，则其又可以被表示为 Re⁡[f(a,b)]+iIm⁡[f(a,b)]\operatorname{Re}[f(a,b)]+i\operatorname{Im}[f(a,b)]。
我们令 u(a,b)=Re⁡[f(a,b)],v(a,b)=Im⁡[f(a,b)]u(a,b)=\operatorname{Re}[f(a,b)],v(a,b)=\operatorname{Im}[f(a,b)]，则对于任意复变函数 f(z)f(z)，其都可以被表示为 u(a,b)+iv(a,b)u(a,b)+iv(a,b) 的形式，因此我们可以通过此性质，将复变函数的性质转化为实函数的性质。
例如：对于函数 f(z)=z2f(z)=z^2，我们可以将其转化为 f(a,b)=(a+bi)2=(a2−b2)+2abif(a,b)=(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi，因此 u(a,b)=a2−b2,v(a,b)=2abu(a,b)=a^2-b^2,v(a,b)=2ab。

6. 复变函数的连续性

在讲解复变函数的连续性前，让我们先回顾一下实函数的连续性。
对于一个实函数 f(x)f(x)，若 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 的邻域内有定义，且满足 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)，则称 f(x)f(x) 在 x0x_0 处连续。
或者更加经典的 ϵ−δ\epsilon-\delta 语言：∀ϵ>0,∃δ>0\forall\epsilon>0,\exist\delta>0 使得当 ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta 时，∣f(x)−f(x0)∣<ϵ|f(x)-f(x_0)|<\epsilon。
仿照实函数的连续性，我们可以定义复变函数的连续性：
对于一个复变函数 f(z)f(z)，若 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 的邻域内有定义，且满足 lim⁡z→z0f(z)=f(z0)\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)，则称 f(z)f(z) 在 z0z_0 处连续。
ϵ−δ\epsilon-\delta 语言：∀ϵ>0,∃δ>0\forall\epsilon>0,\exist\delta>0 使得当 ∣z−z0∣<δ|z-z_0|<\delta 时，∣f(z)−f(z0)∣<ϵ|f(z)-f(z_0)|<\epsilon。
需要说明的是，在复变函数的连续性定义中，∣z−z0∣|z-z_0| 表示复数 z−z0z-z_0 的模长，而非两数差的绝对值。
此外，由于在复平面上，一个复数可以从无穷多个方向向另一个复数趋近，因此复变函数的连续性远比实函数的连续性要严格，这也决定了复变函数具有实函数所不具备的优美性。
事实上，由于 f(z)=u(a,b)+iv(a,b)f(z)=u(a,b)+iv(a,b)，任意复变函数都可以转化为两个二维实向量场函数，因此复变函数的连续性实际上等价于二维实向量场函数的连续性。

7. 复变函数的可导性及导数

说完了连续性，接下来就是函数的一个极为重要的性质可导性了。
回顾实函数的可导性：
若函数 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 的邻域内有定义，且极限 lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} 存在，则称 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处可导。
我们按此定义复变函数的可导性：
若函数 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 的邻域内有定义，且极限 lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} 存在，则称 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 处可导。
同连续性一样，由于趋近一个复数的路径是无穷多的，复变函数的可导性远比实函数要强的多，甚至可以说，绝大部分的复变函数尽管连续，然而并不可导。
一个非常简单却典型的例子是共轭函数 f(a+bi)=a−bif(a+bi)=a-bi。
我们考虑从实轴不断趋近 a+bia+bi，则极限 lim⁡z→a+bia−bi−f(z0)z−a−bi=lim⁡a′+bi→a+bia−bi−(a′−bi)(a′+bi)−a−bi=lim⁡a′→aa−a′a′−a=−1\lim\limits_{z\to a+bi}\dfrac{a-bi-f(z_0)}{z-a-bi}=\lim\limits_{a'+bi\to a+bi}\dfrac{a-bi-(a'-bi)}{(a'+bi)-a-bi}=\lim\limits_{a'\to a}\dfrac{a-a'}{a'-a}=-1。
然而从虚轴不断趋近 a+bia+bi 时，极限 lim⁡z→a+bia−bi−f(z0)z−a−bi=lim⁡a+b′i→a+bia−bi−(a−b′i)(a+b′i)−a−bi=lim⁡b′→b(b′−b)i(b′−b)i=1\lim\limits_{z\to a+bi}\dfrac{a-bi-f(z_0)}{z-a-bi}=\lim\limits_{a+b'i\to a+bi}\dfrac{a-bi-(a-b'i)}{(a+b'i)-a-bi}=\lim\limits_{b'\to b}\dfrac{(b'-b)i}{(b'-b)i}=1。
可以发现这两个极限并不相等，因此共轭函数在复数域上并不可导，尽管其在复数域上连续。
这也表明了方向对于复数的重要性。
若函数 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 处可导，则我们称极限 lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} 的值为函数 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 处的导数（derivative）。

8. 柯西-黎曼方程与其证明

有人可能会说，复变函数的可导性和方向强相关，那应该如何方便快捷的判断一个复变函数是否可导呢？
有请我们的柯西和黎曼大神！
对于一个函数 f(z)f(z)，我们将其表示为 u(a,b)+iv(a,b)u(a,b)+iv(a,b) 的形式。
对于这两个实函数，若其在 (a,b)(a,b) 处可微，且满足 ∂u∂a=∂v∂b,∂u∂b=−∂v∂a\dfrac{\partial u}{\partial a}=\dfrac{\partial v}{\partial b},\dfrac{\partial u}{\partial b}=-\dfrac{\partial v}{\partial a}，则函数 f(z)f(z) 在 z=a+biz=a+bi 处可导且其导数为 ∂u∂a+i∂v∂a\dfrac{\partial u}{\partial a}+i\dfrac{\partial v}{\partial a}。
我们称方程 ∂u∂a=∂v∂b,∂u∂b=−∂v∂a\dfrac{\partial u}{\partial a}=\dfrac{\partial v}{\partial b},\dfrac{\partial u}{\partial b}=-\dfrac{\partial v}{\partial a} 为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equation）。
例如我们在上面提到的 f(z)=z2f(z)=z^2，我们已经得出了 u(a,b)=a2−b2,v(a,b)=2abu(a,b)=a^2-b^2,v(a,b)=2ab。
则根据实函数求导法则，有 ∂u∂a=2a,∂u∂b=−2b,∂v∂a=2b,∂v∂b=2a\dfrac{\partial u}{\partial a}=2a,\dfrac{\partial u}{\partial b}=-2b,\dfrac{\partial v}{\partial a}=2b,\dfrac{\partial v}{\partial b}=2a。
我们可以发现，这里是满足 ∂u∂a=∂v∂b,∂u∂b=−∂v∂a\dfrac{\partial u}{\partial a}=\dfrac{\partial v}{\partial b},\dfrac{\partial u}{\partial b}=-\dfrac{\partial v}{\partial a} 的，因此 f(z)=z2f(z)=z^2 在复数域内处处可导，且其导数为 2a+2bi2a+2bi。
一个复变函数满足柯西方程与其可导是等价的，下面我们来证明它。
以下证明涉及大量微积分知识和分析数学知识，大部分读者可跳过此段。
充分性：
由于 uu 和 vv 在 (a,b)(a,b) 处可微，故存在只与 (a,b)(a,b) 有关而与 Δa,Δb\Delta a,\Delta b 无关的常量 α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta 使得：
Δu=u(a+Δa,b+Δb)−u(a,b)=αΔa+βΔb+ϵ1ρ\Delta u=u(a+\Delta a,b+\Delta b)-u(a,b)=\alpha\Delta a+\beta\Delta b+\epsilon_1\rho
Δv=v(a+Δa,b+Δb)−v(a,b)=γΔa+δΔb+ϵ2ρ\Delta v=v(a+\Delta a,b+\Delta b)-v(a,b)=\gamma\Delta a+\delta\Delta b+\epsilon_2\rho
其中 ρ=(Δx)2+(Δy)2=∣Δz∣\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=|\Delta z|，且当 ρ→0\rho\to0 时 ϵ1,ϵ2→0\epsilon_1,\epsilon_2\to0。
由多元微积分定义，可知 ∂u∂a=α,∂u∂b=β,∂v∂a=γ,∂v∂b=δ\dfrac{\partial u}{\partial a}=\alpha,\dfrac{\partial u}{\partial b}=\beta,\dfrac{\partial v}{\partial a}=\gamma,\dfrac{\partial v}{\partial b}=\delta。
又由柯西-黎曼方程，有 α=δ,β=−γ\alpha=\delta,\beta=-\gamma。
代入 f(x)f(x) 的增量有：f(Δz+z0)−f(z0)=Δu+iΔvf(\Delta z+z_0)-f(z_0)=\Delta u+i\Delta v
=(αΔa+βΔb+ϵ1ρ)+i(γΔa+δΔb+ϵ2ρ)=(\alpha\Delta a+\beta\Delta b+\epsilon_1\rho)+i(\gamma\Delta a+\delta\Delta b+\epsilon_2\rho)
=(αΔa+βΔb)+i(γΔa+δΔb)+(ϵ1+iϵ2)ρ=(\alpha\Delta a+\beta\Delta b)+i(\gamma\Delta a+\delta\Delta b)+(\epsilon_1+i\epsilon_2)\rho
=(αΔa−γΔb)+i(γΔa+αΔb)+(ϵ1+iϵ2)ρ=(\alpha\Delta a-\gamma\Delta b)+i(\gamma\Delta a+\alpha\Delta b)+(\epsilon_1+i\epsilon_2)\rho
=α(Δa+iΔb)+iγ(Δa+iΔb)+(ϵ1+iϵ2)ρ=\alpha(\Delta a+i\Delta b)+i\gamma(\Delta a+i\Delta b)+(\epsilon_1+i\epsilon_2)\rho
=(α+iγ)(Δa+iΔb)+(ϵ1+iϵ2)ρ=(\alpha+i\gamma)(\Delta a+i\Delta b)+(\epsilon_1+i\epsilon_2)\rho
=(α+iγ)Δz+(ϵ1+iϵ2)∣Δz∣=(\alpha+i\gamma)\Delta z+(\epsilon_1+i\epsilon_2)|\Delta z|
所以函数的导数为 lim⁡Δz→0f(Δz+z0)−f(z0)Δz=lim⁡Δz→0(α+iγ)Δz+(ϵ1+iϵ2)∣Δz∣Δz\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(\Delta z+z_0)-f(z_0)}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{(\alpha+i\gamma)\Delta z+(\epsilon_1+i\epsilon_2)|\Delta z|}{\Delta z}
=lim⁡Δz→0(α+iγ)+(ϵ1+iϵ2)∣Δz∣Δz=\lim\limits_{\Delta z\to0}(\alpha+i\gamma)+(\epsilon_1+i\epsilon_2)\dfrac{|\Delta z|}{\Delta z}
=lim⁡Δz→0(α+iγ)+lim⁡Δz→0(ϵ1+iϵ2)∣Δz∣Δz=\lim\limits_{\Delta z\to0}(\alpha+i\gamma)+\lim\limits_{\Delta z\to0}(\epsilon_1+i\epsilon_2)\dfrac{|\Delta z|}{\Delta z}
=(α+iγ)+lim⁡Δz→0(ϵ1+iϵ2)∣Δz∣Δz=(\alpha+i\gamma)+\lim\limits_{\Delta z\to0}(\epsilon_1+i\epsilon_2)\dfrac{|\Delta z|}{\Delta z}
现在考虑 (ϵ1+iϵ2)∣Δz∣Δz(\epsilon_1+i\epsilon_2)\dfrac{|\Delta z|}{\Delta z}。
将后半部分的 ∣Δz∣Δz\dfrac{|\Delta z|}{\Delta z} 化为 ∣Δz∣∣Δz∣eiθ=e−iθ\dfrac{|\Delta z|}{|\Delta z|e^{i\theta}}=e^{-i\theta}，容易知道其模固定为 11，是有界量。
由因为当 ρ→0\rho\to0 时 ϵ1,ϵ2→0\epsilon_1,\epsilon_2\to0 可知当 Δz→0\Delta z\to0 时 ϵ1+iϵ2→0\epsilon_1+i\epsilon_2\to0。
因此可知 lim⁡Δz→0(ϵ1+iϵ2)∣Δz∣Δz=0\lim\limits_{\Delta z\to0}(\epsilon_1+i\epsilon_2)\dfrac{|\Delta z|}{\Delta z}=0。
故而函数的导数为 α+iγ=∂u∂a+i∂v∂a\alpha+i\gamma=\dfrac{\partial u}{\partial a}+i\dfrac{\partial v}{\partial a}，充分性证毕。
必要性：
已知函数 f(z)=u(a,b)+iv(a,b)f(z)=u(a,b)+iv(a,b) 在 z=z0=a+biz=z_0=a+bi 处可导，则有 f′(z0)=lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δzf'(z_0)=\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}，此极限存在，且与 Δz\Delta z 趋于 00 的路径无关。
不妨令 Δz=Δa+iΔb\Delta z=\Delta a+i\Delta b，则函数值的增量为：
f(Δz+z0)−f(z0)=[u(Δa+a0,Δb+b0)+iv(Δa+a0,Δb+b0)]−[u(a0,b0)+iv(a0,b0)]f(\Delta z+z_0)-f(z_0)=[u(\Delta a+a_0,\Delta b+b_0)+iv(\Delta a+a_0,\Delta b+b_0)]-[u(a_0,b_0)+iv(a_0,b_0)]
=[u(Δa+a0,Δb+b0)−u(a0,b0)]+i[v(Δa+a0,Δb+b0)−v(a0,b0)]=[u(\Delta a+a_0,\Delta b+b_0)-u(a_0,b_0)]+i[v(\Delta a+a_0,\Delta b+b_0)-v(a_0,b_0)]
=Δu+iΔv=\Delta u+i\Delta v
由于复变函数的导数与其增量不断趋近 00 的路径无关，因此我们分别从实轴和虚轴趋近 00，并让其极限相等。
从实轴趋近，则 Δb=0,Δz=Δa\Delta b=0,\Delta z=\Delta a。
则极限 lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz=lim⁡Δa→0Δu+iΔvΔa=lim⁡Δa→0ΔuΔa+ilim⁡Δa→0ΔvΔa=∂u∂a+i∂v∂a\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta a\to0}\dfrac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta a}=\lim\limits_{\Delta a\to0}\dfrac{\Delta u}{\Delta a}+i\lim\limits_{\Delta a\to0}\dfrac{\Delta v}{\Delta a}=\dfrac{\partial u}{\partial a}+i\dfrac{\partial v}{\partial a}。
从虚轴趋近，则 Δa=0,Δz=iΔb\Delta a=0,\Delta z=i\Delta b。
则极限 lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz=lim⁡Δb→0Δu+iΔviΔb=lim⁡Δb→0−iΔuΔb+lim⁡Δb→0ΔvΔb=−i∂u∂b+∂v∂b\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta b\to0}\dfrac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta b}=\lim\limits_{\Delta b\to0}-i\dfrac{\Delta u}{\Delta b}+\lim\limits_{\Delta b\to0}\dfrac{\Delta v}{\Delta b}=-i\dfrac{\partial u}{\partial b}+\dfrac{\partial v}{\partial b}。
综合以上二式我们得到：
∂u∂a+i∂v∂a=∂v∂b−i∂u∂b\dfrac{\partial u}{\partial a}+i\dfrac{\partial v}{\partial a}=\dfrac{\partial v}{\partial b}-i\dfrac{\partial u}{\partial b}
结合复数相等的条件，我们分离实部与虚部，得到：
∂u∂a=∂v∂b,∂v∂a=−∂u∂b\boxed{\dfrac{\partial u}{\partial a}=\dfrac{\partial v}{\partial b},\dfrac{\partial v}{\partial a}=-\dfrac{\partial u}{\partial b}}
即得到柯西-黎曼方程，必要性证毕。

9. 复变函数的解析性

对于一个复变函数 f(z)f(z)，若 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 的邻域内处处可导，则我们称 f(z)f(z) 在 z=z0z=z_0 处解析。
若函数 f(z)f(z) 在其定义域 DD 内处处解析，则我们称 f(z)f(z) 为 DD 内的解析函数（analytic function）或全纯函数（holomorphic function）。
你可能会说，这不就是可导性的扩展吗？有必要单开一个板块吗？
请注意一点，解析性的要求是远比可导性严格的，解析性表示了一个区间内的性质（尽管这个区间极小），而可导性仅代表了一个点的性质。
事实上，解析性是整个复分析邻域的基石，而我们研究的大部分复变函数也都是解析函数。
解析性能够带来许多有力的性质和条件。
其中一个便是解析函数的无穷可导性：
若 f(z)f(z) 在 DD 内解析，则其各阶导数 f(n)(z)f^{(n)}(z) 存在且皆为解析函数。
无穷可导性也是接下来复变函数的泰勒级数和洛朗级数的基石。
其证明需要用到下面的柯西积分公式（Cauchy's integral formula）：
若 f(z)f(z) 在 DD 内解析，且 CC 是 DD 内的一条简单闭合曲线，且其内部区域完全包含于 DD，则对于 CC 上任意一点 z0z_0，有：
f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dz\boxed{f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z}
这个公式表明解析函数在区域内部的值完全由其边界值决定。
而柯西积分公式的推导则基于下面的柯西积分定理（Cauchy's integral theorem）：如果一个函数 f(z)f(z) 在单连通区域 DD 内解析，那么它沿区域内任意闭合曲线的积分都为零。即:
∮Cf(z)dz=0\boxed{\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0}
下面我们依次来证明这三条定理。
以下证明涉及大量微积分知识和分析数学知识，大部分读者可跳过此段。
柯西积分定理：
前置知识：
格林公式：对于平面区域 DD 及其边缘 ∂D\partial D，有：
∮∂DPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_D(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
复变函数积分分解法则：∮Cf(z)dz=∮C(udx−vdy)+i∮C(vdx+udy)\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\oint_C (u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i\oint_C(v\mathrm{d}x +u\mathrm{d}y)。
证明：
设函数 f(z)f(z) 在单连通区域 DD 内解析，CC 是 DD 内任意简单闭合曲线。
则由积分分解法则，有 ∮Cf(z)dz=∮C(udx−vdy)+i∮C(vdx+udy)\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\oint_C (u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i\oint_C(v\mathrm{d}x +u\mathrm{d}y)。
对实部积分和虚部积分分别套用格林公式得：∮Cf(z)dz=∬D(−∂v∂x−∂u∂y)dxdy+i∬D(∂u∂x−∂v∂y)dxdy\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\iint_D(-\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y+i\iint_D(\dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial v}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y。
由于 f(z)f(z) 解析，因此其满足柯西-黎曼方程，有：∂u∂x=∂v∂y,∂v∂x=−∂u∂y\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}。
即 ∂u∂x−∂v∂y=0,−∂u∂y−∂v∂x=0\dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial v}{\partial y}=0,-\dfrac{\partial u}{\partial y}-\dfrac{\partial v}{\partial x}=0。
故上式中的双重积分皆为 00，因此得到 ∮Cf(z)dz=0\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0，证毕。
柯西积分公式：
设 f(z)f(z) 在区域 DD 内解析，CC 是 DD 内简单闭合曲线，z0z_0 在 CC 内部。
我们作辅助函数 g(z)=f(z)−f(z0)z−z0g(z)=\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}。
当 z≠z0z\ne z_0 时，g(z)g(z) 在 z0z_0 的邻域内解析，当 z=z0z=z_0 时，由于 f(z)f(z) 可导，故有 lim⁡z→z0g(z)=lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0=f′(z0)\lim\limits_{z\to z_0}g(z)=\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f'(z_0)。
因此我们认为 z0z_0 是 g(z)g(z) 的一个可去奇点，并定义 g(z0)=f′(z0)g(z_0)=f'(z_0)，此时 g(z)g(z) 在 DD 内解析。
以 z0z_0 为圆心，ϵ\epsilon 为半径作圆 CϵC_\epsilon 使得其落在 CC 内部，由柯西积分定理有：∮Cg(z)dz=∮Cϵg(z)dz\oint_Cg(z)\mathrm{d}z=\oint_{C_\epsilon}g(z)\mathrm{d}z。
也即 ∮Cf(z)−f(z0)z−z0dz=∮Cϵf(z)−f(z0)z−z0dz\oint_C\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z=\oint_{C_\epsilon}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z。
分离常数得 ∮Cf(z)z−z0dz−f(z0)∮C1z−z0dz=∮Cϵf(z)−f(z0)z−z0dz\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-f(z_0)\oint_C\dfrac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=\oint_{C_\epsilon}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z。
而我们知道 ∮C1z−z0dz=2πi\oint_C\dfrac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi i，因此 ∮Cf(z)z−z0dz−2πif(z0)=∮Cϵf(z)−f(z0)z−z0dz\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-2\pi if(z_0)=\oint_{C_\epsilon}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z。
对右侧积分作估计。由于在 CϵC_\epsilon 上 z=z0+ϵeiθ,dz=iϵeiθdθz=z_0+\epsilon e^{i\theta},\mathrm{d}z=i\epsilon e^{i\theta}\mathrm{d}\theta，故：
∣∮Cϵf(z)−f(z0)z−z0dz∣=∣∫02πf(z0+ϵeiθ)−f(z0)ϵeiθiϵeiθdθ∣|\oint_{C_\epsilon}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z|=|\int_0^{2\pi}\dfrac{f(z_0+\epsilon e^{i\theta})-f(z_0)}{\epsilon e^{i\theta}}i\epsilon e^{i\theta}\mathrm{d}\theta|
=∣i∫02πf(z0+ϵeiθ)−f(z0)dθ∣≤∫02π∣f(z0+ϵeiθ)−f(z0)∣dθ=|i\int_0^{2\pi}f(z_0+\epsilon e^{i\theta})-f(z_0)\mathrm{d}\theta|\le\int_0^{2\pi}|f(z_0+\epsilon e^{i\theta})-f(z_0)|\mathrm{d}\theta
又由于 f(z)f(z) 在 z0z_0 处连续，对于任意 δ>0\delta>0，存在 ϵ>0\epsilon>0 使得当 ∣z−z0∣<ε|z-z_0|<\varepsilon 时，∣f(z)−f(z0)∣<δ|f(z)-f(z_0)|<\delta，故：
∫02π∣f(z0+ϵeiθ)−f(z0)∣dz<∫02πδdθ=2πδ\int_0^{2\pi}|f(z_0+\epsilon e^{i\theta})-f(z_0)|\mathrm{d}z<\int_0^{2\pi}\delta\mathrm{d}\theta=2\pi\delta
由于 δ\delta 可以无限小，故当 ϵ→0\epsilon\to0 时 ∮Cϵf(z)−f(z0)z−z0dz→0\oint_{C_\epsilon}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z\to0。
因此 ∮Cf(z)z−z0dz−2πif(z0)=0\oint_{C}\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-2\pi if(z_0)=0。
故而有 f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dzf(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z，证毕。
解析函数无穷可导性：
设 f(z)f(z) 在区域 DD 内解析，z0∈Dz_0\in D，CC 是围绕 z0z_0 的简单闭合曲线且其内部完全包含于 DD。
由柯西积分公式有 f(z)=12πi∮Cf(z′)z′−zdz′f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z')}{z'-z}\mathrm{d}z'。
对 zz 形式上求导有：
f′(z)=12πi∮Cf(z′)(z′−z)2dz′f'(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z')}{(z'-z)^2}\mathrm{d}z'
f′′(z)=22πi∮Cf(z′)(z′−z)3dz′f''(z)=\dfrac{2}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z')}{(z'-z)^3}\mathrm{d}z'
⋯\cdots
f(n)(z)=n!2πi∮Cf(z′)(z′−z)n+1dz′f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z')}{(z'-z)^{n+1}}\mathrm{d}z'
只需证明这些形式导数的确是 f(z)f(z) 的导数且皆解析即可。
我们考虑函数增量：f(z+Δz)−f(z)Δz=12πi∮Cf(z′)[1(z′−z−Δz)(z′−z)]dz′\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_Cf(z')[\dfrac{1}{(z'-z-\Delta z)(z'-z)}]\mathrm{d}z'。
当 Δz→0\Delta z\to0 时，显然有 lim⁡Δz→012πi∮Cf(z′)[1(z′−z−Δz)(z′−z)]dz′=12πi∮Cf(z′)(z′−z)2dz′\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{1}{2\pi i}\oint_Cf(z')[\dfrac{1}{(z'-z-\Delta z)(z'-z)}]\mathrm{d}z'=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z')}{(z'-z)^2}\mathrm{d}z'。
因此 f′(z)=12πi∮Cf(z′)(z′−z)2dz′f'(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z')}{(z'-z)^2}\mathrm{d}z'。
利用数学归纳法不难证明其各阶导数等于上面给出的形式导数，由积分表达式不难知道它们在 DD 内均解析，证毕。
除了这三条定理，解析性还能带来其他的一些优美的性质，如最大模原理：非常值解析函数的模在区域内部不能取得最大值；刘维尔定理：有界的在整个复平面上解析的函数必为常值函数。

10. 解析函数的幂级数展开与洛朗级数

在实分析中，我们有如下的泰勒定理：
若函数 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处的各阶导数存在，则函数 f(x)f(x) 可以唯一地表示为以下的形式：
f(x)=∑i=0+∞f(i)(x0)i!(x−x0)if(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}{(x-x_0)}^i
泰勒定理为我们在实分析中提供了一种强大的工具，即泰勒级数。
那么泰勒级数在复数域中是否存在？
答案是肯定的。
在复数域中，我们有如下泰勒定理：
若函数 f(z)f(z) 对于 ∀z,∣z−z0∣<R\forall z,|z-z_0|<R，有 f(z)f(z) 在 zz 点处解析，则 f(z)f(z) 在 ∣z−z0∣<R|z-z_0|<R 的区域内可被唯一地展开为以下的形式：
f(z)=∑i=0+∞f(i)(z0)i!(z−z0)i\boxed{f(z)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{f^{(i)}(z_0)}{i!}{(z-z_0)}^i}
上面的级数称为复变函数的泰勒级数（Taylor series）。
实分析中的泰勒级数与复分析中的泰勒级数还有一点不同：实分析中，即使 f(x)f(x) 无穷阶可导，但其泰勒级数不一定收敛，也不一定收敛到对应函数，而解析函数 f(z)f(z) 则拥有确定且收敛的泰勒级数。
但是，泰勒级数对于解析函数是具有局部性的，它只在 ∣z−z0∣<R|z-z_0|<R 时成立，对于函数不解析的点（称为奇点）是不成立的，因此我们需要更泛化的工具。
洛朗定理横空出世。
若 f(z)f(z) 对于 R1<∣z−z0∣<R2R_1<|z-z_0|<R_2 内的所有 zz 解析，则 f(z)f(z) 可以在这个区域内唯一地被展开为以下形式：
f(z)=∑k=−∞+∞ak(z−z0)k\boxed{f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_k{(z-z_0)}^k}
其中 ak=12πi∮Cf(z)(z−z0)k+1dza_k=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{{(z-z_0)}^{k+1}}\mathrm{d}z，CC 是一条绕 z0z_0 的正向闭合简单曲线。
上面的级数称为复变函数的洛朗级数（Laurent series）。
我们可以将洛朗级数拆分成以下形式：
f(z)=∑k=0+∞ak(z−z0)k+∑k=1+∞a−k(z−z0)−kf(z)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_k{(z-z_0)}^k+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}a_{-k}{(z-z_0)}^{-k}
容易发现前一部分就是泰勒级数，若函数在 z0z_0 处解析，则洛朗级数退化为泰勒级数。
而后一部分在 ∣z−z0∣>R1|z-z_0|>R_1 时收敛，这一部分是洛朗级数与泰勒级数最大的不同，也正是这一部分描述了 z0z_0 作为奇点时的奇异性。
根据洛朗级数的形式，我们可以把奇点分为以下三类：
若洛朗级数没有负幂次项，则我们称 z0z_0 为可去奇点（removable singularity）；若洛朗级数有有限负幂次项，则我们称 z0z_0 为极点（pole），最高负幂次的绝对值称为极点的阶（order of pole）；若洛朗级数有无穷负幂次项，则我们称 z0z_0 为本性奇点（essential singularity）。

11. 留数定理与实积分计算

有时我们会遇到一个实积分难以找到原函数而难以计算积分值的情况，如 ∫absin⁡xx\int_a^b\dfrac{\sin x}{x}。
这时应该如何计算积分值呢？
留数定理给出了一个解决方案。
要理解留数定理，首先要理解留数。
上面我们给出了函数 f(z)f(z) 的洛朗级数。
函数 f(z)f(z) 在奇点 z=z0z=z_0 处的留数（residue）的定义就是洛朗级数在 k=−1k=-1 时的系数 a−1a_{-1}，记作 Res⁡(f,z0)\operatorname{Res}(f,z_0)。
若 f(z)f(z) 在闭合曲线 CC 围成的区域内存在有限个孤立奇点 z1,z2,⋯ ,znz_1,z_2,\cdots,z_n 且除了奇点外的区域处处解析，并且在 CC 上也解析，则：
∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes⁡(f,zk)\boxed{\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum\limits_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,z_k)}
上式称为留数定理（residue theorem）。
下面我们尝试证明留数定理。
设 CC 是一条逆时针方向的简单闭合曲线，f(z)f(z) 在 CC 上解析，且在 CC 内部存在有限个孤立奇点 z1,z2,⋯ ,znz_1,z_2,\cdots,z_n。
我们以每个奇点为圆心作不相交的小圆 Γk\Gamma_k，使得每个小圆落在 CC 内部且小圆内部仅包含奇点 zkz_k。
由柯西积分定理，我们有 ∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Γkf(z)dz\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\sum\limits_{k=1}^n\oint_{\Gamma_k}f(z)\mathrm{d}z。
对于每个奇点 zkz_k，在奇点附近 f(z)f(z) 会唯一地展开为如下洛朗级数 f(z)=∑m=−∞+∞am(z−zk)mf(z)=\sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}a_m(z-z_k)^m。
由留数定义可知 Res⁡(f,zk)=a−1\operatorname{Res}(f,z_k)=a_{-1}。
在 Γk\Gamma_k 上积分有 ∮Γkf(z)dz=∮Γk∑m=−∞+∞am(z−zk)mdz\oint_{\Gamma_k}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{\Gamma_k}\sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}a_m(z-z_k)^m\mathrm{d}z。
对等式右边逐项积分，当 m≠−1m\ne-1 时，显然 am(z−zk)ma_m(z-z_k)^m 存在原函数，又因 Γk\Gamma_k 为闭合曲线，故有 ∮Γkam(z−zk)mdz=0\oint_{\Gamma_k}a_m(z-z_k)^m\mathrm{d}z=0。
当 m=−1m=-1 时，∮Γka−1(z−zk)−1dz=∮Γka−1dzz−zk=a−12πi\oint_{\Gamma_k}a_{-1}(z-z_k)^{-1}\mathrm{d}z=\oint_{\Gamma_k}a_{-1}\dfrac{\mathrm{d}z}{z-z_k}=a_{-1}2\pi i。
故而 ∮Γkf(z)dz=a−12πi=2πiRes⁡(f,zk)\oint_{\Gamma_k}f(z)\mathrm{d}z=a_{-1}2\pi i=2\pi i\operatorname{Res}(f,z_k)，代会原式即得留数定理，证毕。
应用留数定理计算积分的关键在于如何计算留数。
我们对于奇点的不同类型分别讨论。
若 z0z_0 为可去奇点，那么其洛朗级数没有负幂次，Res⁡(f,z0)=0\operatorname{Res}(f,z_0)=0。
若 z0z_0 为一阶极点，则 Res⁡(f,z0)=lim⁡z→z0f(z)(z−z0)\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)(z-z_0)。
若 z0z_0 为 mm 阶极点（m>1m>1），则 Res⁡(f,z0)=1(m−1)!lim⁡z→z0dm−1dzm−1[(z−z0)mf(z)]\operatorname{Res}(f,z_0)=\dfrac{1}{(m-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}{[(z-z₀)^m f(z)]}。
若 z0z_0 为本性奇点，则我们必须通过洛朗级数计算其留数，在此不作讨论。
留数定理可以巧妙地解决实积分计算问题。
我们只需要选择一个合适的复变函数 f(z)f(z) 和闭合曲线 CC 使得实积分对应该路径的一部分，再通过留数定理计算 ∮Cf(z)dz\oint_Cf(z)\mathrm{d}z，以及其他部分的积分值，最终就可以求出实积分的值。

12. 黎曼 ζ\zeta 函数与黎曼猜想

提到复变函数，就不得不提黎曼猜想。
我们的黎曼大神在解决素数的分布时，提出了一个重磅级猜想，也就是黎曼猜想。
可素数分布和复变函数有什么关系呢？
首先我们需要一个函数 ζ(s)\zeta(s)。
对于 ζ(s)\zeta(s) 的定义，最初由欧拉给出，他提出：
ζ(s)=∑i=1+∞1is\zeta(s)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{1}{i^s}
其中 ss 是一个实部大于 11 的复数。
而黎曼通过解析延拓，将 ζ(s)\zeta(s) 的定义域扩展到了除了 s=1s=1 外的所有复数。
扩展后的 ζ\zeta 函数有一些显然的零点，即所有负偶数，称为平凡零点。
而除此之外的零点则称为非平凡零点。
黎曼给出了一个公式，可以用这些非平凡零点来计算 Π(x)\Pi(x)，即小于 xx 的素数的个数。
黎曼猜想其实很简单：ζ\zeta 函数所有非平凡零点的实部全部为 12\dfrac{1}{2}。
严格表述如下：
若 ζ(s)=0\zeta(s)=0，则 s=2k(k<0,k∈Z)s=2k(k<0,k\in\mathbb{Z}) 或 Re⁡(s)=12\operatorname{Re}(s)=\dfrac{1}{2}。
至今为止，黎曼猜想仍未被证明，数学家们利用超算验证了超过十万亿个零点，无一例外。
而筛法也证明了至少有 41%41\% 的零点落在这条临界线上，但离完整的证明，还有万水千山之遥。
黎曼猜想与数论中的众多猜想相关联，诸多猜想都是以“黎曼猜想成立”为前提而提出的，假若黎曼猜想成立，这些猜想也立即被证明，可见黎曼猜想之重要性。

13. 写在最后

复分析和复变函数是数学中极为广阔的一个领域，在各种领域都有广泛应用，这里只是介绍了其中的一小部分，由于作者水平有限，所以也无法很好的为大家详细地讲解，希望有兴趣的读者可以自行查阅资料继续探索！

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