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P12303 [ICPC 2023 WF] 未来水世界 题解

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此快照首次捕获于
2025/12/01 21:25
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/01 21:25
3 个月前
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结论：

每块的面积相等，直接求平均值即可。

证明：

我们考虑一个半径为 RR 的球体，使用球坐标系：
  • θ\theta 为余纬度（从北极起算，θ=0\theta = 0 表示北极，θ=π\theta = \pi 表示南极）。
  • ϕ\phi 为经度（0≤ϕ<2π0 \leq \phi < 2\pi）。
球面的面积元素为 dA=R2sin⁡θ dθ dϕdA = R^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi。
垂直方向（zz 轴方向）将球体分成等高的层，设每层的高度为 Δz\Delta z。
由于 z=Rcos⁡θz = R \cos\theta，有 dz=−Rsin⁡θ dθ⇒dθ=−dzRsin⁡θdz = -R \sin\theta \, d\theta \quad \Rightarrow \quad d\theta = -\dfrac{dz}{R \sin\theta} 。代入面积元素 dA=R2sin⁡θ(−dzRsin⁡θ)dϕ=−R dz dϕdA = R^2 \sin\theta \left( -\dfrac{dz}{R \sin\theta} \right) d\phi = -R \, dz \, d\phi，取绝对值（面积为正）为 dA=R dz dϕdA = R \, dz \, d\phi。
将经度 ϕ\phi 等分，设每份的角度为 Δϕ\Delta \phi。
将球体沿 zz 方向分成 nn 等分，每层高度为 Δz=2Rn\Delta z = \dfrac{2R}{n}；将经度分成 mm 等分，每份角度 Δϕ=2πm\Delta \phi = \dfrac{2\pi}{m}。每个块的面积为 ΔA=R Δz Δϕ=R⋅2Rn⋅2πm=4πR2nm \Delta A = R \, \Delta z \, \Delta \phi = R \cdot \dfrac{2R}{n} \cdot \dfrac{2\pi}{m} = \dfrac{4\pi R^2}{n m}，与位置无关。
球体总表面积为 Atotal=4πR2A_{\text{total}} = 4\pi R^2，总块数为 n×mn \times m，与上述结果一致，得证。

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