打完比赛对完答案被人说 `He's so Chinese` 笑不活了。 ## Part A A1-A4 宝宝题，不讲。 A5 两个筒的底面周长已知，所以可以算出半径。根据 Phytagorean theorem 计算高。解方程即可。答案：$\boxed{\sqrt\frac{20}{21}\pi}$ A6 定义一个数的…

此表记录一些小素数的 $\ln$，使用 $\operatorname{arccoth}$ 的线性组合表示。 ``` ln(2) = 144*arccoth(251) + 54*arccoth(449) - 38*arccoth(4801) + 62*arccoth(8749) ln(3) = 228*arccoth(2…

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## Problem 1. 比较 $1.01^{70}$ 和 $2$ 的大小。 在 $x=0$ 处展开函数 $f(x)=(1+x)^{70}$，可以得到当 $x>0$ 时 $f(x) 2.00540895>2$。 ## Problem 2. 比较 $1.01^{69}$ 和 $2$ 的大小。 我们需要计算 $\log_…

某数学竞赛 填空压轴： > 假设两个多项式 $p(x)=\sum_{i=0}^{100}a_ix^i,q(x)=\sum_{i=0}^{100}b_ix^i$，并且 $a$ 和 $b$ 满足存在正整数 $j,k\in[0,100]$，满足 $\forall i\in[0,100]\cup\mathbb{Z},b_i=\…

$$ \begin{aligned} p&=2^{768}-2^{96}-1\\ E&=y^2=x^3+3x+7 \end{aligned} $$ ``` card(E)=15525180923007089351489794884625025552568860171166966111390520380260509526…

假设 $S=\sum_{i=1}^n i$。 现在假设 $T_k$ 为全体 ctz（这个数末位零个数，即满足这个数能被 $2^t$ 整除的最大的整数 $t$）为 $k$ 的数的和。 有如下两条性质： 1. $T_k=2T_{k-1}$。 2. $\sum_{i=0}^{+\infty}T_i=S$。 于是可以将 $S$…

在文章《一个用来造数据的小玩具》发表评论：

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## Tips 无论是什么不等式，只要未知量数量是确定的就优先考虑 Cauchy-Schwarz -> AM-GM。 ## Problems ### Problem 1. 假设正实数 $a,b$ 满足 $ab\ge\frac13$。证明： $$ \frac1{3a^2+1}+\frac1{3b^2+1}\ge\frac…

## Euler's formula $$ e^{ix}=\cos x+i\sin x $$ ### Proof ## Euler's formula $$ V-E+F=2 $$ ### Proof ## Euler's formula $$ d^2=R^2-2Rr $$ ### Proof ## Euler's fo…

## Blundon 不等式 假设一个三角形拥有外接圆半径 $R$，内切圆半径 $r$，半周长 $s$，则 $$ (s^2-2R^2-10Rr+r^2)^2\le4R(R-2r)^3 $$ 这可以通过代换 $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,t=a+b+c$ 并计算 $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$…

## 归纳法 通常在变量数上使用。 **Theorem 1.**（第一归纳）如果： * 不等式在 $b$ 元时为真 * 如果不等式在 $m$ 元时为真，则可以推出在 $m+1$ 元时成立 那么这个不等式对于 $\ge b$ 元都是成立的。 **Theorem 2.**（第二归纳）如果： * 不等式在 $b$ 元时为真…

## 方向 如果方向不符合使用 Cauchy-Schwarz 或 AM-GM 的条件，则可以考虑将不等式变形为可以使用它们的形式。 例：$\frac{f(vars\cdots)}{1+g(vars\cdots)}=f(vars\cdots)-\frac{f(vars\cdots)g(vars\cdots)}{1+g(v…

## 换元技巧 ### 分母变 $1+\square$ 当原式分母为 $a+bc$ 的形式时，考虑 $a=xy,b=yz,c=zx$。此时分母变为 $1+z^2$。 条件的转化： * 如果 $a+b+c=k$，则考虑 $x=\tan\frac A2,b=\tan\frac B2,z=\tan\frac C2$（$k=1…

## What is Cauchy-Schwarz? $$ (\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2)\ge(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2 $$ ### Proof 构造多项式 $f(x)=\sum_{i=1}^n(a_ix-b_i)^2\ge 0$。其非负性代表其判…

在讨论《20分求优化》回复：

@[Moxiang_Terry](luogu://user/1271572) 1. 可以使用快速幂。 2. 可以在乘法计算完之后只保留后 500 位。

在讨论《sort也可以》回复：

@[Emery](luogu://user/1617558) 这题本意不是这个。

## Problem 1. 1. 求 $(8+x^3)$ 的二项式级数展开式，有效范围为 $|x|<2$。由此证明对每一个自然数 $m$ 都有 $$ \int_0^1\frac{x^m}{8+x^3}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(3k+m+1)2^{3k+3}} $$ 2. 证明：…

最近看到天使猫猫酱出的题目，想提一下，正好加强一下自己的数论。 建议读物：[扩展 Euclid](/article/lvy8pyux)/[二次剩余](/article/ajjebv9m)/[Pell 方程](/article/0k12snqw)/[椭圆曲线](/article/vsasoe53)/[分解（上）](/ar…

## 和角公式 对一个一条对角线为直径、另一条对角线的两个顶点均为直角顶点的圆内接四边形使用 Ptolemy 定理得到 $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. 通过诱导公式得到 $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. 将两者相除得到 $\tan…

## Problem 证明 $(\sum_{i|n}d(i))^2=\sum_{i|n}d^3(i)$。 ## Proof 1 题目等价于 $(d*1)^2=d^3*1$ 的证明。 该等式对于 $n=1$ 显然成立。根据 Dirichlet 卷积的保积性，我们只需证明该等式对于 $n=p^k$（$p$ 为素数，$k\i…

## 概念 名称：椭圆曲线, elliptic curve 定义：$y^2=x^3+ax+b$（标准形式）$y^2+ay=bx^3+cx^2+dx+f$（Weierstrass 形式） 判别式：$-16(4a^3+27b^2)$（标准形式） --- ## 加法 $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_3,y_3…

最近看到天使猫猫酱出的题目，想提一下，正好加强一下自己的数论。 建议读物：[扩展 Euclid](/article/lvy8pyux)/[二次剩余](/article/ajjebv9m)/[Pell 方程](/article/0k12snqw)/[椭圆曲线](/article/vsasoe53)/[分解（上）](/ar…

## Problem 1. 证明 $$ \cos^{2n}(x)>\sin^{2n}(x) $$ 对于所有 $x\in\mathbb{R}$ 和 $n\in\mathbb{Z}^+$ 成立。 Proof. 注意到只需证明该不等式在 $x\in[0,2\pi)$ 和 $n\in\mathbb{Z}^+$ 中成立即可。 先…

问题：计算距离 $|\sqrt{1125000\sqrt2}-\sqrt{1500000}|$ 最近的整数。**不允许使用计算器。** --- Solution. 原式 $=750\sqrt{\sqrt8}-500\sqrt{6}$。 考虑如何高精度地计算 $\sqrt6$ 和 $\sqrt{\sqrt8}$。 注意到…

## $\Phi(d,x/y)$ 以下指定 $d$。 ### Discarded $d$s (使用正常 $x^d-1$ poly) $1,2,3,4,6$, composites with a prime factor $\geq17$ (excluding $2^n\times17$), primes $>17$.…

Computation of Pi Richard Guo 1. **Methods to Compute Pi and Their Proofs** 1.1 Ancient Times Prior to 250 BC, many ancient scholars have found ways to compute…

在讨论《高精度板子求加速》回复：

@[bcdmwSjy](luogu://user/514727) 我在实现的时候遇到了一些问题： * `BigInt::shift` 函数是什么？左一还是右移？ * `b.n` 是否可以用 `b.a.size()-1` 替代？

在讨论《高精度板子求加速》回复：

@[zhangbo1000](luogu://user/760291) 你是指 Schönhage-Strassen 算法？

在讨论《高精度板子求加速》回复：

@[bcdmwSjy](luogu://user/514727) 看起来这是正确的复杂度，在充分利用每一个 limb 后应该可以接近 `mpz_sqrt` 的效率。