求证决策单调性

已知

a,b

分别单调递增，定义：

f_{i,j}=\min\left(f_{i+1,j}+b_j,f_{i,j+1}+a_i\right)

令

f_{n,m}=0

且对于

\forall i>n\lor j>m,f_{i,j}=\inf

，求证

f_{i}

有决策单调性，即：

若 $f_{i,j}$ 由 $f_{i+1,j}$ 转移得到，则 $\forall k>j,f_{i,k}$ 由 $f_{i+1,k}$ 转移得到， $\forall l<i,f_{l,j}$ 由 $f_{l+1,j}$ 转移得到。
若 $f_{i,j}$ 由 $f_{i,j+1}$ 转移得到，则 $\forall k<j,f_{i,k}$ 由 $f_{i,k+1}$ 转移得到， $\forall l>i$ ， $f_{l,j}$ 由 $f_{l,j+1}$ 转移得到。

肯定是有决策单调性的，因为一个神秘贪心题被我用决策单调性优化 DP 草过去了，代入原题背景来感性理解也挺好理解的，但是这个有没有直接在式子上的证法或者四边形之类的啊，想了一中午没想出来。

讨论操作