关于Tarjan中low[]的更新条件

$\text{Tarjan}$ 算法求强连通分量时，在处理边 $(u,v)$ 时，只有当 $v$ 在记录当前可能强连通分量的栈中时才会用 $low_v$ 更新 $low_u$。

为什么 $v$ 在栈中这个条件是必要的？如果 $(u,v)$ 是树边且 $v$ 不在栈中，则说明以 $v$ 为根的子树自成一个强连通分量，此时有 $low_v=dfn_v>dfn_u$，$low_v$ 肯定更新不到 $low_u$。若 $(u,v)$ 是反向边，则 $v$ 肯定在栈内。

请问诸位大佬我的想法出了什么问题？