一个数学问题

求证明：

给定 $n$ 个数 $a_1\sim a_n$，每次可以任意选最多 $m$ 个减去一，求最小操作次数使得所有数变成零。

明显的下界是 $\max(\lceil\frac{\sum a}{m})\rceil,\max a_i)$ 求怎么证明一定可以取到这个下界