求助调和数

对于 $k > 0$，有什么优雅的化简 $[x^n] \frac1{(1-x)^k} \ln\frac1{1-x}$ 和 $[x^n] (1-x)^k \ln\frac1{1-x}$ 的办法？（换句话说，是调和数 $\{H_n\}$ 的 $k$ 阶前缀和和差分）

几天前我在另一个帖子中对于前者给出了一个大力展开递推式的证明（和一个组合意义证明），但是还是太暴力了。