求类似题目或题目解法

在种植番石榴的果园中，老师让小明尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头。

已知小明在果园中一共会遇到 $n$ 颗番石榴（大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明将采用如下策略：

不摘前 $k(1\le k < n)$ 颗番石榴，自第 $k+1$ 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗。设 $k=t\cdot n$，记小明摘到那颗最大番石榴的概率为 $P$。

当 $n$ 无限大时，求 $P$ 的最大值以及此时 $t$ 的值。