站外题求助

由于一些原因，该题只出现在了纸质试卷上。

在一个平面直角坐标系中，给定 $n(1 \leq n \leq 10^5)$ 个点距离原点的欧几里得距离 $e_i(1 \leq e_i \leq 10^9)$，这里保证 $e_i$ 单调不下降，且都为整数。

试确定每个点的坐标（坐标可以不是正整数），得到每个点的曼哈顿距离序列 $d_i$，使得这个序列的逆序对数最多，输出逆序对数的最大值。

例如，有 $3$ 个点，欧几里得距离序列 $e_i$ 分别是 $5,5,6$，那么当这三个点的坐标分别是 $(3,4),(\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{5}{2}\sqrt{2}),(0,-6)$ 时，得到曼哈顿距离序列 $d_i=\{7,5\sqrt{2},6\}$，逆序对共有 $2$ 个。

在我的思路中，由于对称性，逆序对数最多时一定存在一种方案，每个点横纵坐标都是非负整数。那么利用三角函数，可以得到曼哈顿距离序列 $d_i=\{\sqrt{2} e_i \sin (\theta + \frac{\pi}{4})\}$，其中 $\sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\sqrt{2}}{2},1]$。

做到这一步就不会做了，还请高人指点。