关于置换环的一些疑问（CF上的一道题）

本题中是$q_{q_i}$，相当于对置换关系进行两次复合，那么本题条件是否能进一步加强，即对于n次复合也能做呢？

我的直觉认为这和n能否真出每个环的长度有关，但也说不明白。