一个小学六年级问题

六上课本中有一个式子：

我的数学老师说这个东西是错的，是无限接近。我又问老师 $1$ 和 $0.9999...$ 是否相等，她说不相等。

但是我觉得这玩意是相等的，无限接近就是相等，而且这个式子的和其实就是 $\frac{2^\infty-1}{2^\infty}$，而两个无限大本质上都是 $ℵ_0$，所以商等于 $1$.

当然我很有可能错了，所以请问到底等不等于 $1$ 呢？