如何证明一个数学结论

从 $(1,1)$ 开始，若当前为 $(a,b)$，则生成 $(a,a+b),(a+b,b)$，并一直递归下去。如何证明（或者证伪）这种方式生成的数对不会重复。另外，好像这样的方式遍历了所有数对。