高一蒟蒻求助一道函数方程题

已知 $f(x)$ 对任意实数 $x,y$ 恒有 $f(x-y)+f(x+y) = f(2x)$ 成立，且当 $x<0$ 时，$f(x)>0$. 判断 $f(x)$ 单调性，并证明。

关于本题，分别令 $x=y=0$ 和 $x=0$ 可知 $f(0)=0,f(x)$ 为奇函数。

若变形为 $f(x+2y)-f(x+y)=f(x+y)-f(y)$，在 $x\in \N$ 时易得 $f(x)=f(1)x$，我猜测这类似于柯西方程， $f(x)$ 是一个正比例函数，请问可以证明吗。