求证明一个结论

对于两个长度为 $n$ 的序列 $a,b$，满足 $a_i \le b_i$。定义操作为选择 $i,j$（$i \not=j$）并将 $a_i,b_j$ 减一。存在一种操作使得当 $a_i$ 都变为 $0$ 时任意 $b_i \ge 0$ 等价于 $\forall i,a_i \le\sum b - b_i$。