关于图论的一个问题

在一个有向无环图 $G$ 中，给节点分别标上 $1,2,\dots,n$ 的编号。然后我们有一些小球。小球的移动是有规则的。每个节点都有一个“记忆”，表示上一次小球通过了这个节点去向了几号节点。如果没有小球通过过，“记忆”为 $-1$。如果某个“时刻” $i$ 号节点有小球，那么下一个“时刻”小球会去向比“记忆”中的节点编号大的且存在一条有向边 $i \to j$ 的 $j$ 号节点。如果没有比“记忆”中的节点编号大的可到达的节点，就重新从可到达的编号最小的节点开始。如果当前节点有小球，且没有可到达的节点。那么小球视为被此节点“接受”。小球从第 $1$ “时刻”开始，每个“时刻”都会在 $1$ 号节点放置一个小球。

可以举个例子，即一个简单的图 $1 \to 2$。从第 $1$ 时刻开始，每一个时刻 $1$ 号节点上都有一个小球。同时从第 $2$ 个“时刻”开始，每一个“时刻” $2$ 号节点都会“接受”一个来自 $1$ 号节点的小球。

再比如说一个图 $1 \to 2,1 \to 3$，这个时候 $1$ 号节点给出的球会在 $2$ 号节点和 $3$ 号节点之间“反复横跳”，并被“接受”。如果是图 $1 \to 2,1 \to 3,2 \to 3$，可以得到 $3$ 号节点从第 $2$ 个“时刻”开始，每奇数个“时刻”会“接受” $2$ 个小球，偶数个时刻不接受小球。

我的问题是，能否编写比较快速的程序，能够预测第 $T$ 时刻每个节点“接受”的小球数量？或者有没有数学方法可以得到答案？如果有这样的题目（不要类似，要一模一样），我也可以去看题解的。