一个奇妙的证明

现有n个点，坐标（xi，yi）每个点都给一个物块一个大小相等的引力，求证：该物块平衡时所处位置为这n个点的费马点 。
1、费马点
$(\sum_{i = 1}^{n} L_i)min$
$(F\sum_{i = 1}^{n} L_i)min$
$(\sum_{i = 1}^{n} E_p)min$
Ep为物块到每一个点的势能
=>势能最小，能量稳定
=>坐标稳定
=>加速度为0
=>受力平衡
2、费马点=>$\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}$

分别对x，y求偏导
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{x-x_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}}$ $\sum_{i = 1}^{n} \frac{y-y_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}}$

再求2阶导
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x-x_i)^2}{(\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2})^3}$ $\sum_{i = 1}^{n} \frac{(y-y_i)^2}{(\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2})^3}$
发现其恒大于0
所以单峰
因此只需要
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{x-x_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}}=0$ $\sum_{i = 1}^{n} \frac{y-y_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}}=0$
发现其等价于
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{X}{L_i}=0$ $\sum_{i = 1}^{n} \frac{Y}{L_i}=0$
又等价于
$\sum_{i = 1}^{n} \cos(a)=0$
$\sum_{i = 1}^{n} \sin(a)=0$
a为两点连线与x轴之间的夹角
想到正交分解
$\sum_{i = 1}^{n} F\cos(a)=0$
$\sum_{i = 1}^{n} F\sin(a)=0$
这个式子似乎是说合力=0
Q.E.D
由此发现UVA10228==P1337
求大佬指教