萌新求助生成函数

在前两天看的生成函数教材中，提到 $F(x)$ 存在直径 $r\gt0$ 使得 $F(x)$ 在 $(-r,r)$ 上收敛。对此我的理解是，因为生成函数的 $x$ 是没有意义的，所以代任何值都可以，那么不如人为钦定 $x$ 是使得 $F(x)$ 收敛的。

但是今天看的教材上，在生成函数 $G_{l,k}(x)$ 满足

的研究中，称

$\dfrac{1-x^m}{1-x}=1+x+\cdots +x^{m-1}$ 所以当 $x=1$ 时，$\dfrac{1-x^m}{1-x}(1)=1$

最终的应用是在 $G_{l,k}(x)$ 中上下同除 $(1-x)^k$ 得到 $G_{l,k}(1)=C^k_{l+k}$

请问这是否是在生成函数中特殊的定义？生成函数有定义域吗？它像普通的函数一样满足定义域内有意义吗？我一开始对“定义域”的理解是否有问题？如何理解上面这个式子？