关于 $f(k)=C_{n}^k$ 的最大值

$RT$，如何证明对于给定的正整数 $n$，关于 $k$ 的函数 $f(k)=C_{n}^k\ (0\le k\le n)$ 的最大值为 $C_{n}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$ ？

另外，如何证明 $f$ 是上凸的？