一个图论问题求证明

证明：将一个 $K_n$ 的所有边任意染成红色蓝色中的一种，则存在一条长度为 $n$ 的路径 $v_1\to v_2\to\cdots \to v_n\to v_1$ 恰经过每个顶点一次，最后回到起始点，且存在 $1\le i\le n$ 使得 $v_1\to v_2,v_2\to v_3,\cdots,v_{i-1}\to v_i$ 的边均为一种颜色，$v_i\to v_{i+1},\cdots,v_{n}\to v_1$ 的边均为另一种颜色。