求助概率生成函数

给定长度为 $m$ 的 $n$ 个串，初始一个空串，之后每次随机一个字符 push back，问出现 $n$ 个串中的一个最少 push back 次数的期望。但是这里的初始串不是空串，而是一个给定的 串 $R$，然后在 $R$ 的前缀的基础上再 push back 随机字符，问期望。对每个前缀都求一遍。$n \le 100, nm\le 10000, |R|\le 10000$

如果不考虑 $R$，有一个生成函数做法，和 SDOI2017 硬币游戏 一样，定义一个 $F_i$ 和 $G$，然后列方程。答案就是 $G(1)$

但是这种做法如何拓展到有初始前缀的情况？

唯一一个找到的资料（https://www.cnblogs.com/Camp-Nou/p/14879482.html ），但是没看懂具体的操作方式。

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